一个普适于椭圆的几何新特性的发现与证明

赵　燚

1 前言

本人在辅导高中数学课程时，发现了一个普适于椭圆的几何新特性，在本文暂且称其为椭圆的“焦弦定理”，查阅有关数学教材、数学手册后，未见过类似的或近似的书面报道.

本文通过解析几何的方法，对此椭圆的几何新特性（“焦弦定理”）给予了证明，同时引入了“焦弦常数”的新概念，欢迎有关人士提出讨论意见.

2 椭圆几何新特性――椭圆“焦弦定理”的证明

本文称其为椭圆的“焦弦定理”可文字叙述如下：

椭圆上的任意一点，通过焦点的两个焦弦共有四个焦半径，相交的两个焦半径分别与其在同一焦弦上的另一个焦半径之间形成两个比值，两个比值之和是一个定值，此称其为“焦弦常数”，即：两倍的长轴平方与焦距平方之和除以长轴平方与焦距平方之差.

过椭圆x2a2+y2b2=1上的任意点A，分别作过椭圆两焦点F1、F2的焦弦，形成四个焦半径AF1、AF2、F1B、F2C，那么两个相交的焦半径AF1、AF2分别与其在一条焦弦上的长轴另一侧的焦半径F1B、F2C之间的比值AF1/ F1B、AF2/ F2C，随着点A移动比值一直在变化，但是两个比值之和是一个常数，此称其为“焦弦常数”：Fc=2×a2+c2a2-c2，其中a为半长轴，图1c为半焦距.

如图1所示，设A点的坐标为（x0,y0），AF1F1B=λ1，AF2F2C=λ2，

应用定比分点定理，对应于焦点F1则有： -c=x0+λ1xB1+λ1和0=y0+λ1yB1+λ1,

可以解得：xB=-（1+λ1)c+x0λ1, yB=-y0λ1.

同理，对应于焦点F2可以解得C点坐标：

xc=（1+λ2)c-x0λ2，yc=-y0λ2

且又因为c2=a2-b2，A、B、C三点在椭圆上，可得以下三式：

x20a2+y20a2-c2=1①

1a2×［-（1+λ1)c+x0λ1］2+(-y0λ1)2a2-c2=1②

1a2×［（1+λ2)c-x0λ2］2+(-y0λ2)2a2-c2=1③

①×a2×(a2-c2)－②×a2×(a2-c2)×λ21

得： -［(1+λ1)2c2+2x0(1+λ1)c］=a2(1-λ21)④

①×a2×(a2-c2)－③×a2×(a2-c2)×λ22

得：-［(1+λ2)2c2-2x0(1+λ2)c］=a2(1-λ22)⑤

④×［-1(1+λ1)c］+⑤×［-1(1+λ2)c］

得：(1+λ1)c+(1+λ2)c=［a2(-1+λ1)+a2(-1+λ2)］×c-1

解此式得：椭圆的“焦弦常数”Fc=λ1+λ2

=2×a2+c2a2-c2

3 结论、推论及建议：

1、 本文所称的“焦弦定理”存在，并可通过解析几何予以证明.

2、 “焦弦常数”相同的椭圆具有相似性，或相似的椭圆有相同的“焦弦常数”.

3、 本文所称的“焦弦定理”对中学生了解椭圆的基本几何特性有一定作用，建议有关专家学者在编写教材或参考资料时，给于阐述.

参考文献

［1］ 数学（全日制高级中学教科书）第一册（下） 人民教育出版社中学数学室编著北京2005.11

［2］ 名师博客.高考总复习. 数学 魏万庆主编北京光明日报出版社2007.3

作者简介

赵燚，1964年8月生，现任郑州磨料磨具磨削研究所检测仪器设备部副主任，高级工程师，郑州市第十一届青联委员，河南省硅酸盐学会会员.1985年至今一直从事超细磨料、精细陶瓷、人造金刚石制品技术、检测仪器与设备的研究开发与应用技术研究.

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