２００８年高考线性规划中的创新题

线性规划问题以其实用性、工具性和交互性,备受人们的关注,自从2004年进入高考后，逐步成为高考的一个新热点，虽然命题多以小题形式出现，但随着时间的推移，线性规划的试题也在慢慢地发生着变化，从单纯知识点的考查，到近几年的能力考查，精彩试题不断出现，本文例举08年高考线性规划中的几道“亮题”，与各位共同欣赏.

例1 （陕西理10）已知实数x,y满足y≥1y≤2x-1

x+y≤m,如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于( )

A.7B.5C.4D.3

图1

解 如图1，因为目标函数z=x-y，即y=x-z，所以z的几何意义为直线在y轴上截距的相反数.解方程组y=2x-1x+y=m得：x=m+13

y=2m-13，

所以zmin=x-y=m+13-2m-13=-1，

即m=5，故选B.

本题的特点是在可行域中含有了参数，从而从静态变为了动态，试题难度虽然不大，但背景新颖，设计巧妙，给人以脱俗之感，在解答时只要将参数m看成是常数，问题就回到常规问题上，利用通法即可求解.

例2 （安徽理15）若M为不等式组x≤0

y≥0

y-x≤2图2表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过M中的那部分区域的面积为

解 如图2，当a=-2时，动直线为l1恰过A（-2，0），当a=1时动直线为l2恰过点B（0，1），所以动直线x+y=a扫过M中区域为图2中的阴影部分，易求得其面积为：

s=12×2×2-12×22×22=74.

本题的特点仍然是在动态上做文章，通过动直线的设置，将平面区域动态化，表面上看，目标函数不太好确立，处理起来有点困难，但实质上，问题即为不等式组x≤0

y≥0

y-x≤2

-2≤x+y≤1所表示的平面区域的面积，而这正是线性规划中最为基本的问题，显然命题者只是通过背景的变化，就达到了考查学生知识迁移和分析问题、解决问题的能力.

例3 （山东理12）设二元一次不等式组x+2y-19≥0

x-y+8≥0

2x+y-14≤0,所表示的平面区域为M,使函数y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是（ ）

A.［1,3］B.［2,10］

C.［2,9］D.［ 10,9］.

图3

解 二元一次不等式组所表示的区域为图3中的阴影部分.

当函数y=ax(a>0,a≠1)分别过点（1，9）和（3，8）时，a=9和a=2，所以a的取值范围是［2,9］,故选C.

本题的特点是在于创新,将线性规划与指数函数巧妙的综合在一起,新而不怪,巧而不难,重知识的交汇与融合,旨在考查知识的理解与应用,是题海战术所无法企及的,极具导向性和示范性.

例4 （浙江理17）若a≥0,b≥0,且当x≥0

y≥0

x+y≤1时，恒有ax+by≤1，则以a、b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于.

纵观08年线性规划试题,本题是最具特色的，背景新颖、综合性强，给学生提供了足够的思维空间，横看成岭侧成峰，你从不同视角去审视它，都会得到收获.

解1 （解析法）如图4，画出点P（x,y）的可行域.

图4

因为ax+by≤1恒成立，即x1a+y1b≤1在可行域中恒成立，则：1a≥1且1b≥1，否则可行域中总会存在着不满足题意的点.

即0≤a≤1

0≤b≤1，

所以点P（a，b）所形成的平面区域为边长为1的正方形，

所以S=1.

解析法是我们处理线性规划问题最为常用的方法，在坐标轴上两个截距1a、1b的构造，巧妙地将可行域与恒成立问题统一起来，从而使问题得以顺利解决，截距的构造是解题的关键.

解2 （三角法）：设0≤x≤cos2α,0≤y≤sin2α，则：

ax+by≤acos2α+bsin2α=acos2α+b(1-cos2α)=(a-b)cos2α+b≤a-b+b=a≤1同理可得：

ax+by≤acos2α+bsin2α=a(1-sin2α)+bsin2α=(b-a)sin2α+a≤b-a+a=b≤1所以0≤a≤1

0≤b≤1，

即点P（a，b）所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以S=1.

考题的难点就在于变量太多，通过三角代换，减少了变量元，同时借助三角函数的有界性，巧妙地确定出点P所形成的平面区域.

解3 （增量法）：因为x≥0,

y≥0,

x+y≤1故可设x+y+m=1(0≤m≤1 ），

所以ax+by=a(x+y+m)+by-ay-am=a(1-m)+(b-a)y≤1恒成立，

当y=1,此时m=0时，a(1-m)+(b-a)y的最大值为b，所以0≤b≤1，

同理可得：0≤a≤1，

所以点P（a，b）所形成的平面区域为边长为1的正方形，则S=1.

考题的另一个难点是问题背景都不是等量关系，通过增量法，巧妙地将动态问题转化为等量问题，从而使问题简化.

解4 （极端法）：考虑可行域的极端情形，分别把（0，1）、（1，0）代入ax+by≤1得：0≤a≤1

0≤b≤1,

即点P（a，b）所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以S=1.

线性规划往往与极端情况相关联，本解法正是从可行域的极端情形入手，解法简捷、流畅.

解5 （构造法）：构造直线L：ax+by=0，设可行域内的点到直线L的距离为d，因为a,b,x,y∈R+

，所以d=|ax+by|a2+b2=ax+bya2+b2，即ax+by=da2+b2≤1，恒成立，图5

如图5，点A（0，1）、B（1，0）到L的距离分别为：

d1=ba2+b2,

d2=aa2+b2，则

d1a2+b2=ba2+b2·a2+b2=b≤1

d2a2+b2=aa2+b2·a2+b2=a≤1,

所以0≤a≤1

0≤b≤1，

即点P（a，b）所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以S=1.

通过构造直线L，确定了ax+by的几何意义，从而将问题回归到线性规划最基本的模型.构造新颖，给人以美的享受.

通过上述几个例子，我们不难发现，线性规划题型已从当初的简单逐步过渡到应用与综合，考查的侧重点也不再局限于线性规划本身，而是加强了与其它知识的交汇，成为高考试卷中一道靓丽的风景.

作者简介 刘晓东,男,浙江省湖州市吴兴高级中学高级教师,曾在多家刊物上发表多篇文章.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文