从一道２００８高考（江苏卷）阅读题谈起

李　杰

近几年来，中考题中的阅读题呈逐渐增多的趋势，但阅读题出现在2008江苏高考还是首次阅读题让许多学生感觉很困难，丢分严重，其主要原因是阅读题是从对数学概念、性质和对数学知识的深层次理解出发，结合考查考生的阅读理解能力和逻辑思维能力笔者从教科书（苏教版）必修1、必修2、必修3、必修4、必修5中的阅读题出发,结合2008江苏高考卷中的阅读题谈一谈数学阅读题的特点，面对教学现状做一些教学探讨下面先让我们回顾一下2008江苏高考卷中的阅读题

2008江苏卷附加题23题：请先阅读：在等式cos2x=2cos2x-1(x∈R）的两边求导，得：(cos2x)′=(2cos2x-1)′(x∈R)，由求导法则，得(-sin2x)×2=4cosx×(-sinx)，化简得等式：sin2x=2sinxcosx

（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x）n＝C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn((x∈R，正整数n≥2），证明：n［(1+x)n-1-1］＝∑nk=1kCknxk-1．

（2）对于正整数n≥3，求证：

（ⅰ）∑nk=1(-1)kCkn=0；（ⅱ）∑nk=1(-1)kk2Ckn=0；（ⅲ)∑nk=11k+1Ckn=2n+1-1n+1．

从中我们可以看出阅读题型往往需要先阅读较多的文字，要求考生对文字、符号、图形和式子进行概括、分析，对所提供的材料进行观察、实验、猜想、调整，就其本质进行归纳、加工提炼，然后作出解答在所提供的材料中，常常出现新的概念和方法，因此，不仅要求考生具备较强的阅读理解能力，而且还要求考生具备一定的归纳推理、抽象思维、文字概括、书面表达、自学和应用等诸方面的能力如何充分利用课本阅读题教学素材，最大可能的发挥课本习题的价值，培养学生的能力呢？下面首先从阅读题的特点及教学现状加以分析

1 阅读题的特点及教学现状

数学阅读题是一种新型应用题，它需要解题者从大量的信息资料，如一段较长的文字叙述，或者穿插一定的图表，然后根据解题要求抽取全部有用信息，抽象出数学模型，然后运用数学方法对数学模型进行解答它的出现更符合我们生活实际，它不同于现行教材上一般的常规应用题一般常规应用题的呈现方式已经是抽象出的数学模型，只要我们运用数学方法对其进行解答就可以了，常规应用题缺少了“从大量信息资料中抽象出数学模型”这一环节

1.1 阅读题的特点

1.1.1 阅读题能体现数学和生活的结合，引导学生在应用数学时要关注生活，要结合生活实际应用数学,体现数学来源于生活，超越于生活并服务于生活，使数学问题的呈现更加自然化、人文化

案例1 必修1p.10第6题：一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民有一天他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动数学家很激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”你能理解数学家的话吗？这样的阅读题很好地诠释了“集合”这一数学术语,让学生明白数学是来源于现实生活, 高于生活并服务于生活.通过阅读题引导学生亲自利用数学解决一些实际问题,拓宽视野，增长见识.

案例2 必修1 p.44第13题：小明同学在学习映射时，找出生活中的一个实例——纽扣对应，你能再举一些生活中与映射有关的例子吗？

阅读题体现生活中处处有数学，教师要善于结合教学内容去捕捉生活现象，收集生活中的实例，使学生感悟数学源于实际生活，为解决实际问题服务

1.1.2 阅读题能完善、延展正文中的核心知识，点拨数学思想方法,彰显知识的核心地位和灵魂以及思想方法的精髓

案例3 必修4p.118第16题：由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x表示为cosx的二次多项式对于cos3x，我们有cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx=4cos3x-3cosx，可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式一般地存在一个n次多项式Pn(x)，使得cosnx=Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式请尝试求出P4(t)，即用一个四次多项式来表示cos4x利用结论cos3x=4cos3x-3cosx，求出sin18°的值

苏教版的课本习题由“感受·理解”、“思考·运用”、“探究·拓展”组成，能适应不同类型的学生课本习题是知识应用的浓缩，是点拨数学思想方法,彰显知识的核心地位和灵魂以及思想方法的精髓阅读题被安排在“探究·拓展”部分，它的设计难度很大，是对课本上知识和方法加以“提高”中得到升华，从而达到融会贯通的目的

1.1.3 阅读题能创新问题情境，训练和考察学生的阅读理解能力这种情境创设题是高考的一个亮点试题立意新颖构思巧妙,诱导、引发学生思考，构建思维驰骋的平台，提供给学生广阔的思维空间，抓住信息，透彻理解

（2） 在下列各图阴影部分表示集合A-B;

（3） 如果A-B=迹那么集合A与B之间具有怎样的关系？

此类题目主要培养学生的阅读理解能力，通过阅读，能够培养学生对书面语言的感受力、理解力、和清晰的文字表达能力，进而提高他们认识事物、分析和解决问题的思维能力但许多中学生缺乏阅读课本的习惯，读不出要点，读不出字里行间所蕴藏的内容，更读不出问题和自己独到的见解和创新通过阅读题的学习，一方面可以理解和巩固老师教授的知识，另一方面可以经过自己的思索质疑，从书中字里行间挖掘出丰富的内容，使所学的知识进一步理解、巩固和完善

1.1.4 阅读题能介绍新的数学思想方法，特殊说明、注释功能，营造浓郁的数学文化氛围，承载现代元素, 传播现代工具，培养学生学习数学的兴趣

案例5 必修4 p.50第20题：计算器是如何计算sinx,cosx,ex,lnx,x等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如

sinx=x-x33!+x55!-x77!+…,

cosx=1-x22!+x44!-x66!+….（其中n!=1×2×3×…×n）

英国数学家泰勒发现了这些公式同时也可以知道，右边的项用的越多，计算得到的sinx,cosx的值也就越精确例如，我们用前三项计算sin0.9，就得到sin0.9≈0.9-

(0.9)33!+(0.9)55!≈0.78342075. 象这些公式已被编入计算器内，计算器利用足够多的项就可确保显示值是精确的试用你的计算器计算sin0.9，并与上述结果进行比较根据《新课程标准》中“渗透数学文化，体现人文精神”的要求,课本通过阅读题体现和展示数学文化底蕴.在引导学生学习数学知识的同时，赏析数学家的才智和品格，领略数学发展的足迹，感受数学文化的熏陶，培养情感态度价值观，激发奋进、超越、创新的欲望和动力.

再例如必修3中介绍循环结构：常见的循环结构有两种：一种是前面我们介绍的直到型循环结构，另一种是当型循环结构……当型循环和直到型是可以相互转换的试用当型循环结构写出第1.2.3节中例4的算法步骤，并画出流程图阅读题通过特殊说明、注释功能去启发、引导学生主动学习，激发兴趣，启发学生进行深层次的探究和“再创造”！

1.1.5 阅读题能考察类比联想能力，要求学生在阅读理解的基础上展开类比联想，从而对所学知识进行分析举例

案例6 必修5 p.85 第7题：试证明：二元一次不等式y>kx+b，表示直线l:y=kx+b上方区域……由上可知，不等式y>kx+b表示直线l:y=kx+b上方区域，再证明：若点P(x0,y0)在直线l:Ax+By+C=0(B>0)的上方，则Ax0+By0+C>0. 反之亦然高中数学知识是按学生的接受能力由简单到复杂进行编排的.在学习过程中如果善于应用类比联想，从已知知识中发现新问题，探索新结论，掌握新知识，可以激发学生的学习兴趣，同时还可以提高学生的思维能力.在学习线性规划时，如何巧用类比联想掌握Ax0+By0+C>0. 表示的区域呢?首先从不等式y>kx+b表示直线l:y=kx+b上方区域人手，认真分析，找出其内在联系去发现

1.1.6 阅读题能展示错解型习题，对于这样的问题在教学中还可通过师生合作对原题进行适当改编后再练习，力求真正理解，从而在以后的解题中尽量少犯或不犯类似的错误

案例7 必修5（p.92 T10）阅读题:甲、乙两同学分别解“x∈［1,+∞）求函数y=2x2+1的最小值”的过程如下：

甲：y=2x2+1≥22x2·1=22x，又x≥1，所以22x≥22从而y≥22x≥22，即y的最小值是22

乙：因为y=2x2+1在［1，+∞)上单调递增，所以y的最小值是2×12+1=3.

试判断谁错？错在何处？

通过讨论学生很容易判断甲是错的，乙是对的甲所犯错误在于两个等号不能同时成立在教学中应引导学生分析犯错的原因，从错误源头入手，进一步理解使用基本不等式求最值应注意是否满足“一正，二定，三相等”以及多次用到基本不等式时的等号是否能同时取到

1．2 阅读题教学现状分析

阅读题在目前教学中还仅限于欣赏为主，没有发挥应有的价值从教师方面分析原因：（1）受课时限制因课时紧张，教师一般都未能花时间投入阅读题的教学（2）觉得知识与课堂、考试关联不大（3）阅读题的涉及面广，灵活性强，一些教师对阅读题把握不准，怕犯科学性错误

从学生方面现状分析原因：平时学生学习水平有限，学习自觉性不够，不能主动去探究数学阅读题一般出现在习题的最后一题，历年来的考试一般都把最难的题目放在最后，造成学生的心理定势，最后一题应用题肯定是很难的学生一看到这么长的应用题，就更加恐惧了，反正是做不好的，所以连看都没去看，更何况是做题了针对数学阅读题来说，过多的文字叙述和繁杂的语法关系，尽管其内在的数量关系并不复杂，但学生缺乏读题的耐心没有读懂解题要求，匆匆地读上一遍，就进行解题了，从而导致解题的失败

从方法论角度看大部分学生解题时，面对大量的信息资料，不知从何处开始解题，解决问题茫然无措无法对大量的信息资料进行必要的取舍，按照所要解决的问题对条件进行有序的排列，从而无法去抽象出其所解决问题的数量关系，即无法抽象出数学模型，最终导致解题的失败这是导致解题失败的主要原因

从教学模式角度来看，由于学生的不同，阅读题特点的不同，阅读题教学要求教师不着痕迹的进行外科手术，降低思维难度，让学生能解答出来要对学生解答数学阅读题进行方法指导，首先强化阅读，培养阅读习惯，只有读懂题目及要求才能从问题出发，通过筛选条件抽象出的数学模型进行解答

2 做好阅读题教学几点探讨

习题是数学教材的重要组成部分：一方面，习题可以起到复习、巩固知识，加深学生对知识理解和记忆的作用；另一方面，习题是培养学生能力的重要载体．高中数学新教材无一例外地配备了大量的例题和习题．余元庆先生认为“习题是中学数学课本的重要组成部分，习题配备得好不好，直接影响到学生学习质量的高低．” 可见，习题在数学学习中具有非常重要的作用在新教材中如何使用好阅读题，发挥阅读题的功能，进而培养学生的能力，笔者曾做过一些尝试

2.1 阅读能力：在数学阅读题题型教学中，我们首先要学生会读，读懂弄通，培养他们的阅读理解能力主要反映在以下几个方面：阅读过程中，学生首先遇到的是文字上的困难，阅读题具有广泛的题材内容，并用精练的文字写成，必须重视词语教学，这是数学教学中的语文教学因素；对于“数学语言”的问题，包括“数学俗语”和“专业俗语”，这点需要学生多关心生活，才能扫清阅读障碍；阅读能力还与学生的知识结构有关，基础知识的强弱直接影响对知识的理解程度；阅读能力还与阅读技巧有关，阅读时要特别留心题中的事件情景、具体数据、关键语句等细节，要注意问题的提出方式在阅读过程中要注意各个关键数据，还要注意各数据的内在联系，提炼信息，读“薄”题目，同时还要能回到原题中去

案例8 必修4p.89 第16题：在解析几何中我们学习了直线方程，知道Ax+By=0表示平面内一条直线l，若将直线方程写成向量的坐标运算形式，便有(A,B)·(x,y)=0，其中(x,y)表示直线l上任一点M的坐标，也即向量OM的坐标令n=(A,B)，则n⊥OM我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量，故

n=(A,B)是直线Ax+By=0的一个法向量，令v=(-B，A),因为

v·n=(-B,A)·(A,B)=0，所以n⊥v也就是说，v=(-B,A)是直线Ax+By=0的一个方向向量据此试分别求出直线x+y=0及y=kx(k≠0)的法向量和一个方向向量方向向量，法向量是学生之前从未接触过的新知识，能否迅速学习接受、并进而运用于解决问题？这对学生的收集处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力等能力是一个挑战当今的社会是一个多变的社会，是一个发展的社会，是一个经济的增长以知识的增长为主要依赖的知识经济社会作为一个劳动者来说，他一生所需要的知识，不可能在学校完全学到，加之新知识在不断地出现，这就要求我们的学习者除了学习必要的基础知识、基本技能之外，更主要的是要学会今后进一步学习的能力，简言之，要学会学习我们不能因为阅读题容量大，怕影响教学进度，而忽视对学生阅读能力、学习能力等的培养

2.2 逻辑思维能力：对于逻辑思维能力而言主要强化、分析、推理、归纳、演绎等能力，这些能力是建立在对知识形成了框架的基础上，而这些框架又是以各种概念、定理、性质为材料搭建，由此可见准确把握各种概念、定理是前提，每一个概念都有它特定的定语和中心词，而且通过特定的定语又可发现概念间的发展关系，

案例9 必修2 p.37第14题：看图阅读：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫做长方体，棱长相等的长方体叫做正方体根据上述定义，试说明四棱柱集合、平行六面体集合、直平行六面体集合、长方体集合、正方体集合之间有怎样的包含关系，并用韦恩图直观地表示这种关系

如平行六面体侧棱垂直底面直平行六面体底面是矩形长方体棱长相等正方体通过定理中条件的强化可发现定理的发展只有抓住这些关键定语和关键条件才能理解概念和定理，同时才能对症下药

2.3 推理运算能力：推理运算能力是根据公式概念法则等推导正确结果的能力，它是最终准确把握知识的体现，它的基本要求是运算的准确性，除应具备必要的计算外，还应准确把握选择的公式、法则、性质的合理性，切实做到门当户对文首08江苏高考阅读题主要考察组合数、二项式定理、导数、积分等基础知识，考察推理论证能力与分析问题、解决问题能力而所有都必须要求学生有一定的计算能力，离开计算能力一切都是空谈

2.4 知识类比迁移能力：当学生进行新知识的学习时,由于之前知识的积累易产生类比迁移和灵感，发展学生创造能力和促进知识迁移苏教版教材中阅读题为学生实现新的学习方式提供了可能的平台，为培养学生的创新意识打下基础

案例10 必修2 p.58第11题：假设半径为r的圆的面积为A=πr2，我们用下面的方法推出圆的周长公式c=2πr如图，设h是一个正数，考察半径分别为r和r+h的两个同心圆所围成的圆环这个圆环的面积为B=π(r+h)2-πr2=2πrh+πh2. 可以看出，S1

设两个共球心的球半径分别为R和R+h，其球面面积分别为S1和S2则两球中间部分体积

V=43π(R+h)3-43πR3=43(3R2h+3Rh2+h3)，

则有S1h

我们的学生，需要学会怎样学习，而学习的最重要的基础是阅读阅读对于学生来说是学习的重要方式从终身学习的角度来说，知识的获取主要是阅读总之随着教育改革的深入以及素质教育的要求，数学阅读题教学的优越性越来越明显，会引起更多的同行们的重视，从而把学生从只注重解题而不重视书本的错误中解救出来 ，使他们掌握获取知识的方法，走上成才之路

参考文献

［1］ 中华人民共和国教育部 《普通高中数学课程标准》2003年4月

［2］ 孔白芬，张维忠 高中数学新课程中的章首语［J］中学数学杂志2008年第5期

［3］ 董入兴对新课标下高中数学教材（苏教版）中“旁白”的几点认识［J］中学数学教学参考2008年第4期

作者简介 李杰,男,1979年2月14日出生,中教一级,现于江苏省新海高级中学工作.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文