高考概率与统计应用问题考点分析

王　卜

1 试题统计分析

随着国家新课程改革标准对加强学生应用意识和能力要求的确认，在高考中以体现学生应用知识解决实际问题的应用问题，现已成为全国高考试题不可或缺的内容，分值基本稳定在10％-15％左右，且呈上升趋势，然而，从历年发布的高考试卷分析中不难发现，应用问题一直是难以克服的制造得分率最低问题的“顽疾”.教学中，如果仅仅靠生搬硬套套题型或猜题、压题的侥幸，不仅于学生的实际能力无补，而且可能会作茧自缚.在教学中如何有效培养和提高学生的应用意识和建模能力，怎样把握对各个部分知识考查的要求、明确应用问题命题的形式及基本规律？本文拟在对部分高考数学试题中概率与统计部分应用题分析的基础上，阐述自己的一些认识.以下是近3年的部分高考（理科）概率与统计部分应用问题的统计.

试题出处时间题量及分值题型知识背景

全国卷Ⅰ(理科)

20061题；分值：12解答题相互独立事件同时发生的概率、离散型随机变量分布列、期望

20071题；分值：12解答题离散型随机变量分布列、期望

20081题；分值：12解答题离散型随机变量分布列

全国卷Ⅱ(理科)

20062题；分值：4+12解答题统计抽样（分层抽样）；重复试验发生次数的概率、离散随机变量分布列、期望

20072题；分值：4+12填空+解答题正态分布；二项分布及随机变量分布列

20082题；分值：5+12选择+解答题古典概率；二项分布及互斥事件概率

广东卷(理科)

20061题；分值：12解答题离散随机变量分布列

20073题；

分值：5+5+12选择+填空+解答题统计图与算法；相互独立事件同时发生概率、线性回归分析（最小二乘法）

20082题；

分值：5+13选择+解答题统计抽样（分层抽样）；离散型随机变量分布列、期望及应用

福建卷

(理科)

20061题；分值：4选择题古典概率

20071题；分值：4填空题离散型随机变量期望

20081题；分值：12解答题相互独立事件同时发生的概率、离散型随机变量分布列、期望

从试题研究中不难发现，应用问题的命题至少有以下特点：1、题材的广泛性，命题的知识范围涉及排列组合、概率、统计、回归分析等；2、考查的基础性与灵活性，对知识的考查以基本知识点为基础，而又不是生搬硬套所能奏效，往往需要学生对问题的本质深入理解，解法上有很大的灵活性.3、体现了对应用意识和建模能力的要求，高考中的应用问题现实背景涉及社会生活的各个方面，特别是突出的社会热点问题，如环保、决策、资源优化、灾害预测（评估）、就业、保险、疾病检测等，既体现了学以致用的大众数学教育理念，同时对学生的建模意识和建模能力提出了综合性的测评，要求学生具备一定的建模经验和能力，此外，不少试题是源于课本习题或例题的改编或深化，这些特征，都对我们如何应对高考以深刻的启示.

基于以上分析，本文认为，应用问题的教学不应是权宜之计，不是数学知识教学的点缀品，切实提高学生应用能力的关键是，日常教学中要注重知识的抽象性与背景回归的良性结合，使学生真正实现在学中用、在应用中升华.同时要指出的是，准确把握高考大纲考试要求，应成为我们应考的着眼点，例如对正态分布，由于在正常条件下，电子产品寿命、零件尺寸、电容器容量、纤维的纤维度等都基本服从正态分布，具有广泛的应用价值；相关分析在情况预报、资料补充方面有广泛的应用，虽然尚未在高考中出现，但事实表明，那些被过去冷落的知识点，往往可能成为下一次高考命题的突破点.我们要在高考大纲的指导下，既有重点又不留死角，这样才不至于功亏一篑.

2 试题评析

这部分是新课程改革后历年考查的重点和热点，其考查知识要点为：加法原理、乘法原理、古典概率计算、独立事件同时发生概率、独立重复试验发生次数的概率、互斥事件至少有一发生的概率、离散随机变量分布列及期望、统计抽样、回归分析、正态分布等，其特点是形式灵活，填空、选择、大题均有出现，近几年的试题中，以随机变量的分布列为核心的综合考查基本是必考大题，常包含互斥事件（至少有一发生）概率、独立事件同时发生的概率.试题通常以考查基础知识、综合应用及建模能力为主，有着丰富的时代背景，充分体现了概率运用的广泛性.

例1 （2006福建卷）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（ ）.

分析 该题为古典概率问题，基本公式为：P(A)=mn，其中n为一次实验中可能出现的所有结果，m为事件A的包含的所有结果.

从排列的角度求m、n，设A=“从袋中摸3个球，其中至少摸到2个黑球”，该事件可分为两类：一、A1=“摸到2个黑球1个白球”，对应把8个小球排成一排，其中前3个球为2黑1白，共有3种形式：黑黑白、黑白黑、白黑黑，则有利与条件的事件总数为3×5种，而把3黑5白排成一排的种数为A88A33A55=56种，则摸到2个黑球的概率为1556；A2=“摸到3个都是黑球”，对应把8个球排成一列，前3个为黑球，则排列方式仅有1种，概率为156，所以至少取到2个黑球的概率为1556+156=27.（亦可从其互斥事件出发，考虑前3个球只摸到1个黑球与只摸到白球的情形，即得：1556+156=27.）

方法二、从组合的角度求m、n，可将每个小球编上1-8号，有利于事件发生总数为C23C15+C33,而抽取3个球的事件总数为C38,所以事件发生的概率为C23C15+C33C38=27，

方法三、从每个球被摸到的可能性考虑，该事件可分为A=“2黑1白”与B=“3黑”，

则

A=38×27×56+38×57×26+58×37×26 =1556,

B=38×27×16=156,

所以事件发生的概率为1556+156=27（当然亦可考虑其对立事件）.比较而言方法二更加简洁，要让学生注意总结，以取到高效的解题模式.

点评 本题的解法的多样性正是高考试题的普遍特点，体现了对乘法原理、加法原理（分类思想）、及排列组合知识的考查，教学中需要注重学生对知识本质的理解，启发学生思维的多样性，学会从不同角度发现问题，并获得最佳的解题途径的能力.

例2 （2006全国理科Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A,另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12.

（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；

（Ⅱ）观察3个实验组，用ξ表示这3个实验组中甲类组的个数，求ξ的分布列.

分析 第Ⅰ个问题的数学模型，由题目对甲类组的定义设A=“一个实验组中服用A有效的小白鼠只数比服用B有效的小白鼠只数多”,该事件为复合事件，可分解为两种情形：A1=“实验组中服用A药的小白鼠1只有效另1只无效，而服用B药的小白鼠都无效（有效为0只）”；A2=“实验组中服用A药有效的小白鼠为2只，而服用B药有效的小白鼠为1只或2只都无效（有效为0只）”.显然A1、A2为互斥事件，所求问题为

P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2),

P(A1)=2×23×13=49

P(A2)=23×23×12×12+23×23×12×12×2

=13(A2分为2个互斥事件)，

所以P(A)=P(A1)+P(A2)=49+13=79（当然亦可考虑A的对立事件A,通过P(A)=1-P(A)即可）；

问题Ⅱ，所求问题为独立重复试验事件发生次数的概率分布，由Ⅰ容易得到ξ的分布列

ξ0123

P(ξ=i)87295624398243243729

Eξ=0×8729+1×56243+2×98243+243729×3=1485729.

点评 本题考查了在正确建模基础上的互斥事件至少有一发生的概率、独立重复试验发生次数概率、随机变量概率分布列及分类思想，解决问题的关键是理清题意进行数学抽象，建立相关模型，对所求的复合事件（由基本的可求概率的事件组成），分拆为几组互斥事件（可求概率）的和，通过计算各组互斥事件的概率，从而解决前面的问题.

例3 （2008年全国卷理科Ⅱ）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保险费a元，若投保人在购买保险的一年内出险，则可以获得10000元的赔偿金，假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且投保人是否出险相互独立，已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1-0.999104.

（Ⅰ）求一投保人在一年内出险的概率p；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）.

分析 对保险知识的把握很重要，每一险种是保险公司在大量的调查中作出的对人在正常情况下的遇险可能性的统计分析，是一个总体的概念，即保险公司在对一个人的遇险可能性作出判断时，用的是一个不变的概率，那么对本题来说，所有投保人遇险的概率是被认为相同的，这一点可以从（Ⅰ）所问作出判断，据此，本题事件对每个人说是独立的同分布的，一年内遇险发生人数的概率即可看作模型为重复实验发生次数的概率，保险公司一年内赔付金额M的概率为P（ξ=M104）=CM104104PM104(1-p)104-M104（ξ为一年内遇险人数），

本题“至少赔偿10000元的事件”即“至少1人遇险事件”，直接考虑显然不现实，考虑其对立事件即“没有1人遇险的事件”，P（“至少1人遇险事件” ）=P(ξ≥1)

=1-P(ξ≤0)=1-C0104p0(1-p)104=1-0.999104，得p=0.001；

（Ⅱ）抽象模型，盈利η=所交保险金-成本-赔付金=10000a-50000-10000ξ ,所以

Eη=E(10000a-50000-E(10000ξ))

=10000a-50000-E(10000ξ)≥0,

10000a≥10000×10000×0.001+50000,得a≥15,

因此，每人至少交15元保费.

点评 本题不仅考查了概率部分（重复实验发生次数概率、期望）的知识，而且把应用与不等式相联系，综合考查了学生建模的能力，需要学生对知识本质准确把握，（Ⅱ）较好地体现了对知识的交叉综合应用的考查，在今年的广东卷（理科）17题、全国卷理科Ⅰ第20题都有体现，很大程度预示了今后对这类问题考查的方向，这要求教学中加强知识的横向联系，加大对应用问题数学原形广度和深度的把握.

例4 （2007年全国理科卷Ⅱ）、在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ

在（0，1）取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内的取值概率为（）.

分析 对正态分布N(a,σ2)，其图象关于x=a对称，因此N(1,σ2)关于x=1对称，显然，ξ在（0，2）内的概率分布图象关于x=1对称，P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=2×0.4=0.8.

点评 本题考查了正态分布的性质，需要学生掌握正态分布的对称性，正态分布在高考试题中出现次数极少且分值不大，容易被复习中忽视，鉴于其应用价值，不排除今后对这类问题考查分量加大的可能，正态分布的考查，使我们认识到，既要关注热点问题，也要对大纲要求有明确的认识，不能留有死角，如2007年广东理科17题考查了回归分析，统计抽样（分层抽样）出现在2006年全国卷理科Ⅱ第16题（填空）、2008年广东卷理科第3题（填空），在形式上也可能作为综合题出现在解答题中.

例5 （2008年全国卷Ⅰ理科）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物，血液化验的结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病，下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明患病的动物为这3只中的1只，然后逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.

（Ⅰ）求方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）ξ表示方案乙所需化验次数，求ξ的期望.

分析 （Ⅰ）方案甲、乙的次数均未确定，由甲方案知，可能的次数为1、2、3、4次；乙方案比较复杂，首先需要将3只的一组混合血液化验1次，不可能确定（只能确定患病动物在哪组），若检验呈阳性，则患病动物在3个的组中，可能的化验次数总共为2、3次；检验呈阴性，则患病动物在2只的一组，总共只需2次，因此乙组的化验次数可能为2、3次.且以上各检验次数的概率为古典概率，现在可以建立事件模型，设Ai=“甲实验需要i次确定患病动物”（i=1、2、3、4），Bk=“乙方案需要k次确定患病动物”（k=2、3），显然，所求事件为：

(A2∩B2)∪(A3∩B2)∪(A4∩B2)∪(A3∩B3)∪(A4∩B3) ，其中Ai,Bi为相互独立事件，(A2∩B2)、(A3∩B2)、(A4∩B2)、(A3∩B3)、(A4∩B3)为互斥事件，则依次解：

P（(A2∩B2)∪(A3∩B2)∪(A4∩B2)∪(A3∩B3)∪(A4∩B3)）=P(A2∩B2)+P(A3∩B2)+P(A4∩B2)+P(A3∩B3)+P(A4∩B3)

=P（A2）P（B2）+P（A3）×P(B2)+P(A4)P(B2)+P(A3)P(B3)+P(A4)P(B3)

=15×35+15×35+25×35+15×25 +25×25=1825

（显然，乙方案所需次数总体上少于甲方案），对于Ⅱ其实只需简单计算即可（略）.

点评 该题对模型的建立要求较高，题中没有具体数字，所需条件均需通过对题目的理解获得，如检验中各次检验到患病动物的概率，要求学生根据平时的知识、经验分析得出判断，需要较高的抽象水平，其次体现了分类思想的应用（加法原理），该方法在解决互斥事件至少有一发生的概率计算方面，是一种极为有效的手段.

3 小结

首先，把握高考对知识的目标要求是备考的前提，在准确掌握高考大纲的考试要求后，复习才能在有限的时间内做到有的放矢，重点突出 .

其次，从考试趋势上看，概率（分布）已作为一项必不可少的考查内容（解答题），伴随的知识点是互斥事件至少有一发生的概率、相互独立事件同时发生的概率等，保持了与往届试题的连续性、稳定性的特点，并且试题越来越注重对学生的建模能力及知识综合运用的考查力度，知识交叉考查的趋势凸显（函数、不等式等），要求学生有一定的建模经验与相应的知识综合运用能力，而其中的应用问题建模能力可能是常规教学中最为薄弱的环节，本文认为，加强建模能力水平的过程离不开基本应用问题题型的讲解与演练，从基本知识和概念出发，想方设法创设多角度、多层次的问题情境，让学生通过自身练习，反复体验建模的基本步骤和方法，才能形成应用问题解决的基本思维结构，并逐步形成自己的能力.事实证明，仅靠单纯的知识讲解与演练，而忽视可能的现实问题情境的处理能力的培养，学生即使解决数学本身问题的能力很强，在解决应用问题方面也会捉襟见肘.

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