２００８年高考定积分试题解读与启示

邱　云　张夏强

定积分作为数学必修课程的新增内容，有必要按照《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）对内容的定位进行解读和分析.《课标》对定积分的定位如下：（1）通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础；（2）通过实例，直观了解微积分基本定理的含义；（3）了解微积分的文化价值.可见，高中课程学习定积分，重在粗浅地领略其主要思想和基本方法，从一些实例中初步认识定积分的工具作用.

1 试题概况

第二年实施课标卷的海南、宁夏、山东三省（区）对定积分的考查紧贴课标精神，定位在考常规、考基础，总体上持审慎态度；首次实施课标卷的江苏省对定积分的考查可谓来源于课标又高于课标，在压轴题设计了定积分的巧妙应用.该题无论在情境创设、思维检测、能力考查等方面，都独树一帜，是今年高考众多压轴题中的一道亮丽风景，显示了命题者的非凡勇气和智慧.

证明组合恒等式

巧用微积分基本定理

从命题的着眼点看，实行课标卷的五个省（区）除广东卷未考定积分外，其余四省（区）不约而同考查微积分基本定理的应用，初步展示定积分的新运算、新思想.

2 试题评析

例1 (海南、宁夏卷理科第10题）由直线x=12,x=2，曲线y=1x及x轴所围图形的面积是（ ）

A.154B.174C.12ln2D.2ln2

解析 根据定积分的概念得，围成图形的面积S=∫1221x=lnx|212=ln2-ln12=2ln2，选D.

评注 求曲边梯形的面积是教材用于导入定积分概念的实例. 本题取材于教材，旨在考查学生对定积分概念的初步了解及简单应用.

例2 （山东卷理科第14题）设函数f(x)=ax2+c(a≠0)，若∫01f(x)dx=f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为.

解析 由微积分基本定理得，∫01f(x)dx=(13ax3+cx)|10=a3+c=ax20+c,所以x0=33.

评析 本题将定积分与函数相结合，初显知识的交汇性，考查学生灵活运用知识的能力.该题源于《数学分析》中的“积分中值定理”的特殊情况：∫01f(x)dx=f（x0）·(1-0)(0≤x0≤1)，蕴涵深刻的几何意义：可求得一个矩形的面积等于曲边梯形的面积.作为教师了解一些高数背景，对自身专业素养的提高是有益的.

例3（江苏卷第23题）请先阅读：在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的两边求导，得：(cos2x)′=(2cos2x-1)′，由求导法则，得(-sin2x)·2=4cosx·(-sinx)，

化简得等式：sin2x=2cosx·sinx.

（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn(x∈R，正整数n≥2），

证明：n［(1+x)n-1-1］＝∑nk=2kCknxk-1．

（2）对于正整数n≥3，

求证：∑nk=01k+1Ckn=2n+1-1n+1．

解析 类比问题（1）的证法，观察求证恒等式的特征，展开“合情猜想”，由求导联想到它的逆运算——求积分，将等式（1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn的两边在［0,1］上求积分得

∫01(1+x)ndx=∫01(C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn)dx，

由微积分基本定理，得

1n+1(1+x)n+1|10=(∑nk=01k+1Cknxk+1)|10，

所以∑nk=01k+1Ckn=2n+1-1n+1.

评注 本题融合了组合数、二项式定理、定积分等基础知识的综合应用，求证的结论是《组合数学》中的一类常见组合恒等式，但在中学数学中是一道具有挑战性的难题.它有效考查了学生独立获取数学知识解决问题的能力及学习潜能，为具备良好思维品质和数学素养的学生脱颖而出构建了平台.解答本题，学生需冷静解读试题中隐含的信息，例如问题（1）的提示语，问题（2）设计的n≥3，暗示了若运用数学归纳法，起步就很艰难.因此，要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构造、创造性的思维等能力，方可发现解决问题的有效途径.

此类组合恒等式的常规初等方法是：利用组合数的性质或数学归纳法，但因恒等式的复杂性和奇异性，

用常规方法难以奏效，而微积分基本定理的巧妙应用，使问题创造性地得以解决，显示了微积分的强大功能.对此类问题的思考与探究，有利于培养学生的探索精神、激发学习热情，为今后进一步学好数学打下基础.

3 试题启示

微积分基本定理是微积分的核心内容，是充满新意的一种数学运算，给中学数学注入了新力量、新思想.在今后的定积分命题中，微积分基本定理的考查仍然是倍受青睐的.但是，随着命题视角与观念的更新，以下几个命题趋势的变化值得关注.

3.1 曲线包围图形的多样化

研究曲线图形的面积促进了微积分学科的诞生.求曲边形的面积是考查定积分知识的重点，但考查的形式将会呈现灵活多样的发展趋势.

2008年高考考查的曲边图形面积问题，在积分区间上，其被积函数是正数，但也可能出现被积函数为负数或有正有负；或者曲边图形由两条曲线围成.针对这些可能出现的情形，笔者将例1作如下改编：

（1）由直线x=12，x=2，曲线y=-1x及x轴所围图形的面积是（D）

A.154B.174C.12ln2D.2ln2

(2) 由直线x=12，x=2，曲线y=1x-1及x轴所围图形的面积是(12).

（3）由直线y=-2x+3与曲线f(x)=1x所围图形的面积是(D).

A.34B.134C.2ln2D.34-ln2

简析 求两曲线围成的面积，先求两曲线的交点，然后利用定积分的几何意义，把面积转化为定积分.

这些改编试题立足《课标》，层层递进，从多层次考查学生的思维水平及定积分的应用，既丰富了求曲线图形面积的考查形式，又开拓了学生的数学视野，为进一步揭示定积分的数学内涵提供了素材.

3.2 定积分与其它数学知识的交汇

凸显知识交汇，考查综合能力，是高考命题的一个重要思路.定积分作为高中课改的新增内容，如何将它与传统知识有机整合，实现新而不难，新而不“凡”，是值得高考命题研究的一个方向.如果此类试题设计得恰到好处，既可提升“定积分”在整个高中数学体系中的地位，又可强化相应数学知识的横向联系，使定积分从高等数学和谐地融入初等数学.

以下以例2为基点、《课标》为准绳设计定积分交汇试题：

（1）定积分与不等式交汇：设函数f(x)=x2+1，若∫01f(x)dx=a+b，a、b均为正实数，则ab的最大值为.

简析：∫01f(x)dx=(13x3+x)|10=43

輆b≤49.

（2）定积分与函数最值交汇：设函数f(x)=x2-1，若∫0tf(x)dx=h(t)，t>0，则h(t)的最小值为.

简析 ∫0tf(x)dx=h(t)=(13x3-x)|t0

三角形“四心”的向量表示

山东肥城泰西中学271600张海娟

向量的加减法运算是通过三角形法则来完成的，向量与三角形有着密不可分的关系，三角形的“四心”（重心、垂心、内心、外心）又是三角形的重要内容，与“四心”相关的向量题目也是频繁出现，用向量表示“四心”则是常见问题，现归结如下

1 重心 三角形三边的中线的交点

1.1 点O为△ABC的重心的充要条件是

OA+OB+OC=0

1.2 向量AB+AC是BC边中线上的向量，过△ABC的重心

2 内心 三角形三内角的平分线的交点

2.1 O为△ABC内心的充要条件是

|BC|·OA+|AC|·OB+|AB|·OC=0

2.2 向量AB|AB|+AC|AC|

是∠BAC的平分线上的向量，过△ABC的内心

3 垂心 三角形三边的高线的交点

3.1 点O为△ABC垂心的充要条件是

OA·OB=OB·OC=OC·OA

3.2 向量AB|AB|cosB+

AC|AC|cosC是BC边的高线上的向量，过△ABC的垂心

4 外心 三角形三边的中垂线的交点

4.1 O是△ABC外心的充要条件是

|OA|=|OB|=|OC|

4.2 O为△ABC外心的充要条件是

（OA+OB）·AB=

（OB+OC）·BC=

（OC+OA）·CA=0

=13t3-t，由h′(t)=0輙=1，h(t)min=h(1)

=-23.

新老知识的“黄金搭档”，为传统知识注入了新鲜血液，同时实现了新知识的“软着陆”，有助于学生丰富数学知识网络、提高知识整合能力，促进思维方式多元化.

3.3 组合恒等式证明的衍生

受例3证法及结论：∑nk=01k+1Ckn=2n+1-1n+1(*)的启发，我们可以设计如下组合恒等式证明题：

求证：∑nk=02k+1k+1Ckn=3n+1-1n+1(**)，

∑nk=1(-1)k+1k+1Ckn=nn+1(***)，…

简析 依据例3证法，将(1+x)n=∑nk=0Cknxk两边在0到t上对x积分，得

(1+t)n+1-1n+1=∑nk=01k+1Ckntk+1

取t=2，则得到式(**)；若取t=-1，则得到式(***).

从“组合数学”的观点看，以上三个组合恒等式共同特点是：左侧都可归结为和式幂函数

∑nk=01(k+1)(k+2)…(k+m)Ckntk+m在某闭区间的定积分形式.证明这类组合恒等式，常以二项定理为母体，两端求定积分，m决定积分次数，对t取不同的值，即获得相应结果.

同理，由二项定理(1-x)n=∑nk=0(-1)kCknxk诱发的组合恒等式同样值得思考.

在组合恒等式的证明中，微积分方法充分展示了魅力，它灵活却不乏规律，变化却不乏模式，严谨却不乏美妙，其巧妙的思想方法是解决问题的内动力和源泉，有助于学习者形成新的数学推理观念.

微积分在高考试题中的渗透，拓宽了高考命题思路，增强了试题的综合程度，为发展数学应用意识和创新能力提供了有效途径.

作者简介 邱云，男，1975年生，教育硕士，在全国多种CN刊物发表论文十余篇；张夏强，男，1979年生，教育硕士.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文