体育赛事中的概率

余锦银

体育赛事中的“分组问题”、“输赢的预测”、“结束场数的判定”等都要用排列组合和概率统计知识通过计算获得其结果.

1 比赛中分组问题的概率计算.

例18个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个）进行比赛，求这两个强队被分在一个组内的概率.

法一（直接法）：

两个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：两个强队都分在A组或B组，2个强队都分在A组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为C26C48；对等的有2个强队都分在B组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为C26C48，则2个强队分在同一组的概率为2·C26C48=37

法二（间接法）：

“两个强队被分在一个组”的对立事件为“2个组中各有1个强队”，而2个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，里面恰有1个强队”这一事件，其概率为C12C36C48=47

，所求事件的概率为：1-47=37

点评 如何认识两个强队被分在一个组内？如何完成？不同的思维过程将会产生不同的解法.

2 比赛中输赢问题的概率计算

例2 甲、乙两名围棋手进行比赛，已知甲每一局获胜的概率为35，乙每一局获胜的概率为25，比赛可采用三局二胜制或五局三胜制，请你预测在那一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？

解 三局两胜制中甲获胜分为：甲前两局全胜或前三局中前两局中一负，第三局必胜，则概率P1=0.62+C12×0.6×0.4×0.6=0.648;

五局三胜制中甲获胜分为：甲前三局全胜；或四局中前三局两胜一负，且第四局必胜；或五局中前四局二胜二负，第五局必胜，则概率P2=0.63+C23×0.62×0.4×0.6+C24×0.62×0.42×0.6=0.68256;

由以上的计算知，在五局三胜制中甲获胜的可能性大.

点评 认识三局二胜制、五局三胜制所进行的场数，用互斥事件分类，每类都用相互独立事件同时发生的概率，用分步乘法原理计算概率.

例3 某厂进行乒乓球比赛，A胜B的概率为0.4 ,B胜C的概率为0.5,比赛没有平局，按如下顺序进行：第1局 A与B；第2局，第1局胜者与C；第3局，第2局胜者与第1局战败者；第4局，第3局胜者与第2局败者.求B连胜4次的概率.

解 理解顺序和连胜4次的意义，相互独立同时发生的事件的概率，分步研究：

第1局中B胜A的概率为1-0.4=0.6；第2局中B胜C的概率为0.5；第3局中B胜A的概率为1-0.4=0.6；第4局中B胜C的概率为0.5，这4步相互独立事件同时发生的概率，由乘法公式得B连胜4次的概率为 0.6×0.5×0.6×0.5=0.09.

结论1 设排球队A与B进行比赛，若有一队胜四场则比赛宣告结束（不出现和局）.通常，若两队技术水平相差悬殊，则需要比赛的场数更少；若两队技术水平相当，则需要比赛的场数更多，试用概率知识解释这一事实.

解析 设在每场比赛中A胜B的概率为p，B胜A的概率为q=1-p(0≤p≤1)，进行n场比赛，可看做是进行n次独立重复试验，其中A队B队比赛k场的概率为Cknpkqn-k.

设比赛宣告结束时，比赛场数为随机变量ξ.因为有一队胜4场比赛才宣告结束，所以比赛至少要进行4场，即ξ≥4；又如果比赛进行7场，两队中总有一队要胜4场，这时比赛必定结束，所以ξ≤7，ξ的取值集合为{4,5,6,7}.

“ξ=k”表示比赛k场即决出胜队，即A在第k场取胜，在前k-1场中又胜了3场，或者B在第k场取胜，而在前k-1场中又胜了3场，从而P(ξ=k)=C3k-1p4qk-4+C3k-1pk-4·q4，k=4,5,6,7.

因为p+q=1

所以P(ξ=4)=1-4pq+2p2q2,P(ξ=5)=4pq-12p2q2,P(ξ=6)=10p2q2-20p3q3,P(ξ=7)=20p3q3.

E(ξ)=4P(ξ=4)+5P(ξ=5)+6P(ξ=6)+7P(ξ=7)=20p3q3+8p2q2+4pq+4

设t=pq=14-（p-12)2,0≤t≤14，当t接近于0时，说明双方水平相差悬殊，当t接近于14时，说明双方水平相当.

因为E(ξ)=f(t)=20t3+8t2+4t+4，在［0,14］上是增函数，所以当双方水平的差距逐渐缩小时，比赛的平均场数则逐渐增多. 特别地，当某队占绝对优势时，即t=0，E(ξ)=4，只需平均比赛4场；当两队水平一样时，即t=14,E(ξ)=5.8125(场)，需要平均比赛约6场.

3 比赛的平均场数的确定

例4 设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队获胜，若有一队获胜4场，则比赛宣告结束.假定A、B在每场中胜的概率均为12，那么比赛平均需要几场才能结束？

解 理解一队获胜4场，比赛平均需要场数就是求以“场数为随机变量”的数学期望.设场数为随机变量ξ,P(ξ=4)=2×C44(12)4=216,

P(ξ=5)=2C34(12)3(12)(12)=416,

P(ξ=6)2×C35(12)3(12)2(12)=516,

P(ξ=7)=2C36(12)3(12)3(12)=516.

则结束比赛的平均场数Eξ=5.8125，由于两队实力相当，故平均要进行六场比赛才能结束.

例5 如果甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，而且他们的水平相当，规定“七局四胜制”，若已知甲先胜两局.

（1）求乙取胜的概率； （2）试确定比赛的平均场数.

解 注意前提甲先胜两局，先分类后分步确定.

（1）甲先胜两局，乙取胜再胜4局；3，4，5，6四局中胜3局且第7局必胜，其概率P=(12)4+C34(12)3(12)(12)=316

（2）设在甲胜两局的前提下，结束比赛再需要场数为η.

P(η=2)=(12)2=14,

P(η=3)=C12×12×12×12=14,

P(η=4)=C13×12×(12)2×12+(12)4=14(系两类)，

P（η=5）=C14×(12)1×(12)3×12+C34(12)3×(12)×(12)=14(系两类)，

于是，结束比赛的平均场数为E(η+2)=Eη+2=72+2=112，由于两队实力相当，故平均要进行六场比赛才能结束.

结论2 A、B两队之间要进行一场比赛，若在每场比赛中A胜B的概率为p，且0

析 赛制通常有：一局一胜制、三局两胜制、五局三胜制、七局四胜制等.

解 设一局一胜制中，A胜的概率为p1，则p1=p.

设三局两胜制中，A胜的概率为p2，则p2=p2（头两局A胜）+C12p(1-p)·p(头两局只胜一局且第三局A胜)=p2+2p2-2p3=3p2-2p3，因为p1>0，p2>0，当p∈(0,0.5)时，有p2p1=3p-2p2∈(0,1)，所以p2

设五局三胜制中，A胜的概率为p3，同理，p3=p3+C24p2(1-p)2·p=p3+6p3(1-p)2.

p3-p2=p2［p+6p(1-p)2］-p2(3-2p)=3p2［2p3-4p2+3p-3］，令f(p)=2p3-4p2+3p-3,则f′(p)=6p2-8p+3，此时，f′(p)=0的判别式Δ=(-8)2-4×6×3=-8<0，所以f′(p)恒正，所以f(p)在p∈(0,0.5)单调递增，所以f(p)min=f(0)=-3<0，所以p3-p2<0,所以p3

设七局四胜制中，A胜的概率为p4，同理有p4=p4+C36p3(1-p)3·p=p4+20p4(1-p)3

p4-p3=p3［p+20p(1-p)3］-p3［1+6(1-p)2］=p3(1-p)(20p3-40p2+26p-7)，令g(p)=20p3-40p2+26p-7,则g′(p)=60p2-80p+26,令g′(p)=0得p=80±(-80)2-4×60×262×60=20±1030>0.5，即函数g(p)的两个极值点在区间(0,0.5)外，所以g(p)在p∈(0,0.5)单调，g(0)=-7<0，g(0.5)=-1.5<0，所以g(p)在p∈(0,0.5)恒负，此时1-p>0，所以p4-p3<0，故p4

综上所述，p4

在现实生活中，我们举办的各级各类比赛，都是为了选出优胜者，选出冠亚军，其实，赛出的冠军，实力并不一定是真正的第一，要想通过比赛选出名副其实的第一，理论上比赛场数越多越好，但场数过多又需投入太多人力物力，为了兼顾这两方面的平衡，现在很多国际赛制已由五局三胜制改为七局四胜制.

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