圆锥曲线中与切线有关的几组命题

2008年山东省高考数学试卷22题如下：

如图1,设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，|AB|=410，求此时抛物线的方程；

图1

（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p>0)上，其中，点C满足OC=OA+OB（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

解析：略

此题的背景涉及到了抛物线及其切线，本文就此做了深入研究，现将研究成果整理成文，以飨读者.

定理1 如图1，设抛物线方程为x2=2py(p>0),以此抛物线上的两个不同点A（x1,y1),B(x2,y2)为切点分别作此抛物线的两条切线，切线交于点M.若点N为切点弦AB的中点，则线段MN与此抛物线的对称轴平行，

证明：设M（x0,y0),由题意知A(x1,x212p),B(x2,x222p）,

N（x1+x22,y1+y22),由x2=2py得y=x22p，

则y′=xp,kMA=x1p,kMB=x2p.

因此直线MA的方程为y-y1=x1p(x-x1),直线MB的方程为y-y2=x2p(x-x2).

将点M(x0,y0)代入有：

y0-x212p=x1p(x0-x1) ①

y0-x222p=x2p(x0-x2) ②

由①、②得x0=x1+x22，y0=x1x22p;所以线段AB的中点N与M有相同的横坐标，故线段MN与此抛物线的对称轴平行.

图2

若将抛物线改成椭圆和双曲线，又如何呢？

拓展1 以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2)为切点作两条切线，且两条切线相交于一点M；若点N为切点弦AB的中点，则线段MN经过此椭圆的对称中心.

证明 设M(x0,y0),N(xN,yN)，（1）当直线AB与x轴垂直时，结合对称性，不难证明结论成立；（2）当直线AB不与x轴垂直时，则过A(x1,y1),B(x2,y2)两点的切线l1,l2的方程分别为：

图3

④

③-④整理有：直线AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=-b2x0a2y0，考虑到A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，代入得：x21a2+y21b2=1,x22a2+y22b2=1，两式相减整理得：kAB=y1-y2x1-x2=-b2xNa2yN,这样x0y0=xNyN，即O,M,N三点共线，即线段MN经过此椭圆的对称中心.综上结论成立.

拓展2 以双曲线x2a2-y2b2=1(a,b>0)上两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2)为切点作两条切线，且两条切线相交于一点M；若点N为切点弦AB的中点，则线段MN经过此双曲线的对称中心.

证明略.

定理2 设抛物线方程为x2=2py(p>0), 以此抛物线上的两个不同点A(x1,y1),B(x2,y2)为切点分别作此抛物线的两条切线，切线交于点M，若切点弦AB所在直线过定点(0,m)，则两切线的交点M必在一定直线y=-m上，反之，其逆命题也成立.

证明 设直线AB的方程为：y=kx+m，联立x2=2py

y=kx+m得：x2-2pkx-2pm=0

则x1+x2=2pk,x1x2=-2pm，由结论1的证明过程可知M的纵坐标：y0=x1x22p=-2pm2p=-m，故两切线的交点M必在一定直线y=-m上(m为常数).反之，设直线AB的方程为：y=kx+b，联立x2=2py

y=kx+b得：x2-2pkx-2pb=0

，x1+x2=2pk,x1x2=-2pb,由结论1的证明过程可知M的纵坐标：y0=x1x22p=-m輝1x2=-2pm，结合x1x2=-2pb輒=b，从而得到直线AB的方程为：y=kx+m，则切点弦AB所在直线必过定点(0,m).

若将抛物线改成椭圆和双曲线，又如何呢？

拓展3 以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2)为切点作两条切线，且两条切线相交于一点M；若切点弦AB所在直线过定点D(m,0)，则两切线的交点M必在一定直线x=a2m上；反之，其逆命题也成立.特别地，当点D(m,0)为焦点F(c,0)时, 两切线的交点M必在准线x=a2c上.

图4

证明 若m=0，则A(x1,y1),B(x2,y2)关于原点对称，过A(x1,y1),B(x2,y2)所作切线平行，这与条件矛盾，故m≠0.设M(x0,y0)

,这样，过A(x1,y1),B(x2,y2)两点的切线l1,l2的方程分别为：

b2x1x+a2y1y=a2b2①

b2x2x+a2y2y=a2b2②

将M(x0,y0)代入得：b2x1x0+a2y1y0=a2b2③

b2x2x0+a2y2y0=a2b2④

由③④得b2x0(y2x1-y1x2)=a2b2(y2-y1)

由DA=(x1-m,y1),BD=(m-x2,-y2).

因为A,D,B三点共线 ．

所以

y2x1-y1x2=m(y2-y1)代入（3），得x0=a2m，即P点的轨迹是直线x=a2m．特别地，当点D(m,0)为焦点F(c,0)时, 两切线的交点M必在准线x=a2c上.

反之，若两切线的交点M在定直线x=a2m上，则由（3）得：y2x1-y1x2=m(y2-y1),

由于DA=(x1-m,y1),BD=(m-x2,-y2)，(x1-m)(-y2)-(m-x2)y1=y1x2-y2x1+m(y2-y1)=0，这说明DA∥BD，即弦AB所在直线过定点D(m,0).

图5

拓展4 以双曲线x2a2-y2b2=1(a,b>0)上两个不同的点A(x1,y１),B(x2,y2)为切点作两条切线，且两条切线相交于一点M；若切点弦AB所在直线过定点D(m,0)，则两切线的交点M必在一定直线x=a2m上，反之，其逆命题也成立.特别地，当点D(m,0)为焦点F(c,0)时, 两切线的交点M必在准线x=a2c上.

证明略

定理3 如图5，设抛物线方程为x2=2py(p>0), 以此抛物线上的两个不同点A(x1,y1),B(x2,y2)为切点分别作此抛物线的两条切线，切线交于点M；若切点弦AB过定点D(0,m)，则直线DM与AB的斜率之积为-2mp，特别地，当点D(0,m)为此抛物线的焦点F(0,p2)时，DM⊥AB.

证明 若切点弦AB过定点D(0,m)，由结论2知两切线的交点M必在一定直线y=-m上；

由题意知A(x1,x212p),B(x2,x222p),

则直线AB的斜率kAB=x212p-x222px1-x2=x1+x22p，

直线DM的斜率kDM=m-(-m)0-x1+x22=-4mx1+x2，

从而kAB·kDM=x1+x22p·(-4mx1+x2)=-2mp.

当点D(0,m)为此抛物线的焦点F(0,p2)时，kAB·kDM=-2mp=-1，即DM⊥AB.

若将抛物线改成椭圆和双曲线，又如何呢？

拓展5 以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2)为切点作两条切线，且两条切线相交于一点M；若切点弦AB所在直线过定点D(m,0)，则直线DM与AB的斜率之积为b2m2-a2，特别地，当点D(m,0)为此椭圆的焦点F(c,0)时，DM⊥AB.

证明 由拓展3得：若切点弦AB所在直线过定点D(m,0)，则两切线的交点M必在一定直线x=a2m上，设M(x0,y0),则x0=a2m由拓展1知直线AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=-b2x0a2y0,kDM=y0x0-m，则kAB·kDM=-b2a2x0y0·y0x0-m=-b2a2x0x0-m=-b2a2a2ma2m-m=b2m2-a2

，结论成立.特别地，当点D(m,0)为此椭圆的焦点F(c,0)时，kAB·kDM=b2m2-a2=-1，即DM⊥AB.

拓展6 以双曲线x2a2-y2b2=1(a,b>0)上两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2)为切点作两条切线，且两条切线相交于一点M；若切点弦AB所在直线过定点D(m,0)，则直线DM与AB的斜率之积为b2a2-m2，特别地，当点D(m,0)为此双曲线的焦点F(c,0)时，

DM⊥AB.

证明略.

作者简介

徐加华，男，山东新泰人，先后荣获泰安市青年岗位能手标兵、泰安市高中教学工作优秀教师、泰山教学新星、泰山教坛英才等荣誉称号.在国家级、省级刊物上发表论文50余篇，主要从事高中数学教学与研究.

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