２００８年山东省中考数学题第２０题拙见
2008-11-24满常顺
满常顺
波利亚在《怎样解题》中提示我们：在解题过程中，你是否利用了所有的数据？你是否利用了整个条件？ト缤1，
2008年山东省中考刚刚结束，下面是数学卷第20题：(本题满分10分)
在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．
求证：CE⊥BE．
ね1图2
下面是参考答案：
证明如图2过点C作CF⊥AB，垂足为F．
因为在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，
所以∠D=∠A=∠CFA=90°．
所以四边形AFCD是矩形．
AD=CF,BF=AB-AF=1．
在Rt△BCF中，
CF2=BC2-BF2=8，
所以CF=22，
所以AD=CF=22.
因为E是AD中点，所以DE=AE=12AD=2．
在Rt△ABE和Rt△DEC中，EB2=AE2+AB2=6，EC2= DE2+CD2=3，EB2+ EC2=9=BC2．
所以∠CEB=90°．
所以EB⊥EC．
省中考题参考答案的证明过程无可挑剔. 但是下面的证明方法似乎更具一般性：
证明 如图3，取BC的中点F，连结EF.
因为AB=2,DC=1,BC=3.
所以中位线EF=AB+DC2=2+12=1.5=BC2.
所以△BEC为直角三角形.
所以 EB⊥EC．
ブっ鞴程没有用到∠A=90°（直角梯形）这一条件. 当然，还有以下证法也没有用到∠A=90°这一条件.
辅助线如图4所示.
证明 延长CE、BA交与F,
因为在梯形ABCD中，AB∥CD，所以∠DCE=∠AFE.
因为E是AD中点，所以DE=AE.
在△DCE和△AFE中，∠DCE=∠AFE,DE=AE,∠DEC=∠AEF.
所以△DCE≌△AFE (ASA)，所以CE=FE,CD=FA.
因为AB=2,DC=1,BC=3，所以FB=FA+AB=CD+AB=1+2=3=BC,所以△BFC是等腰三角形.因为CE=FE，所以EB⊥EC．
由上可知，直角梯形在这道题中仅仅只是充分条件，而非必要条件. 由于证明的一般性，题目可概括为：
定理 如图5，若梯形的上、下底之和等于一腰，则此腰的两个端点与另一腰的中点构成一个直角三角形. テ涫担这道题是一道成题，笔者手头的吕学礼主编的《名师导学》、宏宇主编的《初中数学发散思维辅导》对这一题均有涉及.
这道题来源于一个基本拼图：如图6，给定矩形，连结它的一条对角线，过另一个顶点作对角线的垂线，把此矩形分成1、2、3三个部分. 按这三个部分把矩形剪开拼成直角梯形.
这个直角梯形的一个最明显特征是上、下两底之和等于非直角腰. 据此，可以得到一连串的命题：
命题1 若直角梯形的上、下底之和等于非直角腰，则其直角腰的中点与非直角腰端点的连线分别为两个非直角内角的平分线.
命题2 若直角梯形的上、下底之和等于非直角腰，则两个非直角内角的平分线的交点在直角腰上，且平分直角腰.
命题3 若直角梯形的上、下底之和等于非直角腰，则其直角腰的中点与非直角腰的两个端点构成一个直角三角形.
命题4 若直角梯形的上、下底之和等于非直角腰，则直角腰的中点到直角梯形其他三边等命题5 若直角梯形的上、下底之和等于非直角腰，则过直角腰的中点引非直角腰的垂线，垂足分非直角腰为两条与两底分别相等的线段.
命题6 若直角梯形的上、下底之和等于非直角腰，则分非直角腰与上、下底分别相等的点，和直角腰的两个端点，三点连成直角三角形.
命题7 若直角梯形的上、下底之和等于非直角腰，则以直角腰为直径的圆与非直角腰相切.结合相似形和圆的知识，可得到这个拼图更丰富的性质，并且可推广为数学竞赛题.
在《名师导学》中，以上命题均被写成了定理.
实际上，以上命题中的直角这个条件有时是多余的，如命题二、命题三等.
罗增儒先生在《数学解题学引论》中，强调数学习题的科学性时，指出：题目的条件与所在系统的公理组成的体系应具有充分性——足以推导出题目的结论；独立性——每一个条件都不是多余的；…….
独立性的要求反映了数学的严谨性与简单美. 题目有过剩的条件，反映了命题时的思考不周；解法中有多余的思维回路，不仅造成题目臃肿，更会使解题者误入歧途，他会因为条件没有用上而感到迷茫.
げ慰嘉南
ぃ1］［美］波利亚. 怎样解题［M］. 阎育苏译. 科学出版社，1982.1.
ぃ2］罗增儒. 数学解题学引论［M］. 陕西师范大学出版社，2001.7.
ぃ3］吕学礼. 名师导学［M］. 北方工业大学出版社，1994.11.
ぃ4］宏宇. 初中数学发散思维辅导［M］. 安徽教育出版社，1996.5.
プ髡呒蚪椋郝常顺，1966年11月生，数学教育硕士，中学高级教师，中国数学奥林匹克教练员，全国数学奥林匹克竞赛优秀指导教师，辅导学生200余名获数学竞赛全国奖和省级奖. 山东省日照市教学能手，日照市数学学科骨干教师.
