不可缺席的“位似变换”

现行的初中数学人教版新教材对几何部分的内容做了很大调整，其中增设图形的四个“变换”：平移、对称、旋转和位似这四个变换．相对于老教材，这四个“变换”提升了学生对几何图形的空间认识高度．在为近代数学中，“变换”是一个蕴涵丰富数学思想的数学概念，尽早出现在初等几何中，是借助一个图形与另一个图形建立直观、形象的对应关系，来形成对“变换”这一重要数学概念浅显的数学认识，目的是为学生今后数学学习铺下基石．

结合平时的教学，学生对“位似变换”的图形意识要明显次于前面三个“变换”；部分教师也认识到：由于自我对“位似变换”图形意识的缺失，在启发、引导学生解析几何图形时，往往疏忽它的存在和作用，影响到学生在解几何题时，由于它的“缺席”，少了一把开启解题思路的“利器”，关键时只能是望“题”兴叹．ネ1

例1 如图1，已知正方形ABCD的BC边与正方形CEFG的CE边在一条直线上，线段BF和线段AF分别与线段CD相交于点M、N两点．求证：MN=MC．

问题的产生背景和学生解题情况的分析：

该题产生于2008年中考第一轮复习模拟考试，命题意图：考察学生对位似图形的感悟．只要延长FG与AB交于点H,令AB=a，CE=b，由AB∥MN，点F可以看作位似中心，线段MN是线段AB按照相似比GFHF缩小而成, 即MN=GFHFAB=ba+ba=aba+b ．同理，由MC∥EF,点B看作位似中心軲C=BCBEEF=aa+bb=aba+b,所以MN=MC．

但是， 学生一旦遇到证明线段相等，念念不忘用“三角形全等”的知识来解决，结果是把图画成“蜘蛛网”也没解决问题．可见平时学生虽然知晓什么是“位似”，仅局限于它所对应的最简单、最基本的图形里的数学认识：如知道经过位似变换的图形与原图形之间，有对应点在一直线上，对应角相等，对应线段平行并按相似比放大或缩小等，但是遇到具体的几何问题，对有位似关系的对象就浑然不觉，只见树木不见森林．ネ2

例2 如图2，已知等腰△ABC与等腰△ECD的顶角∠BAC=∠CED,B、C、D三点在一直线上，顶点A、E在该直线的同一侧，BE、AD分别与AC、CE交于点F、G，求证：CF=CG．

问题的产生背景与相关情况的分析：

原题△ABC和△ECD都是等边三角形，呈现于一堂数学公开课，教师引入该题的目的：让学生认识图中有两对可以由旋转变换得到的三角形，△ACD→△BCE, △ACG→△BCF (按逆时针方向旋转60°),在即将完成这一教学环节时,突然有学生向老师提出：一般等腰三角形也有“CF=CG”这个结论，教师明白这个学生的意思是只要这两个等腰三角形顶角或底角相等就行．老师很高兴，立即在黑板上重新画图，让全体学生进行思考，时间一分一秒的过去，老师和学生都在沉思中不得其解，最后因时间关系，教师只得宣布将这个问题留于大家课后思考．课后，听课组的老师回到办公室都兴奋地继续讨论这个问题，终于有教师找到证明方法：根据题设，可令AB=AC=a，EC=ED=b，易得△ABC∽△ECD，并令相似比为k，由题设可证：

FC∥ED，将点B视作位似中心軫C=BCDC+BCED=kDCDC+kDCED=k1+kb=ab1+abb軫C=aba+b．同理，由AB∥GC,点D看作位似中心軬C=aba+b．至此,大家猛然醒悟到：由于“位似”这一重要的数学图形意识的缺失，导致解题思路困阻于：依赖“全等形”或“同一个三角形中‘等角对等边”的解题模式．

笔者认为，解题时师生容易忽视“位似变换”解题作用的原因：①平移、对称、旋转这三个“变换”的图形较为直观，容易被“形”的直觉思维所捕捉或甄别，其中“数”的关系也相对单纯，“对应相等”是主要的“数”的关系．虽然位似变换在单纯的图形里是不难被掌握，但在稍微复杂的几何图形中，“数”的关系就显得较为隐蔽，如线段之间是按什么比例被放大或缩小，往往成为解析图形时的“盲点”．又如“平行关系”虽然容易导出“位似关系”，但是，解题者往往最易先考虑图形里的“角的关系”，如内错角、同位角相等，除非解题目标就是关于三角形相似或成比例线段，解题者这时凭借执果索因，对几何图形做定向解析；②在学生平时所见识的图形里，能融合前三个“变换”的图形较为常见，对这类图形的解析具备了相应的认识能力和解题经验；③在学习“三角形相似”时，教师往往侧重于数学图形里的“对应关系”空间感的培养，易忽略位似图形的“线段做平移变化时的缩放”空间感和“比例关系”的数感的培养，以至于造成对几何图形的解析能力不足．

下面给出几例在“无相似”征兆情况下，解题时很难联想到是会用“位似变换”来巧以解题的例子：

例3 如图3，在等腰△ABC的两腰CA和CB的延长线上任取D、E两点，求证：DE>AB.

简证 因为∠EDC+∠DEC=2∠BAC,所以可不妨假定∠EDC≥∠BAC,得到∠GDE≤∠DAB.

若∠GDE<∠DAB，过点A作AF∥DE且与CE于点F，因∠DAF=∠GDE<∠DAB，AF一定落在∠DAB的内部，以点C为位似中心，得AF=ACDCDE

由于底角∠ABC必是锐角，那么钝角∠ABF>∠AFB，所以DE>AF>AB；

若∠GDE=∠DAB軩E∥AB軦B=ACDCDE

图3图4

评析 此题虽可以用余弦定理，借助代数、不等式变形技巧加以证明；也可先证明：过△DEC的外接圆的半径R′大于过△ABC的外接圆的半径R，得到DE=2R′sinC>2RsinC=AB. 但是相比之下，还是通过上述“位似变换”的证明方法更为简洁、直接、明了，成功之处就是用“位似变换”得到AF，将它作为DE派遣的“使者”，造就了能与AB建立联系进行比较的机缘，对图形、解题条件的优化起到举足轻重的作用．

例4 如图4，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的一点，P是线段CD的中点，已知∠BPD=∠DPA，求证：∠CDB=2∠BCD．

证题思路简析：考虑到∠BPD=∠DPA，过点B作BM⊥PD，M为垂足，设BM与PA交于点H，过点H再作EF∥CD，分别与AC、AB

交于点E、F．由∠BPD=∠DPA和BM⊥PD推得CD垂直平分线段BH，所以∠BCD=∠HCD 或∠BCH=2∠BCD(1)．另由EF∥CD，以点A为位似中心，因P是线段CD的中点，CD经位似变换得到EF，点H应是线段EF的中点，且BH⊥EF，所以∠EBH=∠FBH．根据∠BHE=∠BCE=Rt∠，得点B、H、E、C同在以BE为直径的圆上，所以∠EBH=∠HCE，可得∠FBH=∠HCE，进一步得出：∠CDB=∠BCH(2),由(1)、(2)证得∠CDB=2∠BCD．

评析 从已知条件布局：“直角”、“中点”和“等角”贯穿于CD“一线”，位置关系十分“僵硬”，如果证题思路无论侧重于哪个条件本位出发，都无法实现解题条件的“优化组合”，形成不了解题的优势“区域”．本题采用“位似变换”作为优化图形和解题条件的手段，使分散的解题条件得以承接贯通，起死回生．诚然，优化几何图形的方法手段多种多样，但是，“位似变换”对改变图形中几何元素的位置关系，保留“角”、“线段”等量关系或比例关系，尤其独到之处，应收纳为解析图形一把“利器”，敏锐我们对几何图形思维视角，丰实我们的解题灵感．

例5 探究在梯形ABCD的两底之间作一系列平行下底的平行线，任意两组平行线与两腰所夹的线段组成的梯形（如图5中的梯形MNTS）对角线的交点的轨迹是什么？

探究1 采用运动变化的观点．若平行线l1与l2不断靠近，线段MN和ST就更接近相等,梯形MNTS也更近似于平行四边形,点P就更靠近对角线ST或MT的中点，当MN与ST重合时，点P就成为它们的中点；

探究2 采用位似变换的观点．当平行线l1与l2位置固定时，受探究1的启发，过点P作GH∥l1且与梯形两腰分别相交于点G、H，猜想：点P为GH的中点．

简证 根据题设和作图条件，可将S看作位似中心，GP是由MN按MGMS的比例缩小而成．同理可将T看作位似中心，PH是由MN按NHNT的比例缩小而成．根据l1∥GH∥l2軲GMS=NHNT,所以GP=PH．

ネ5图6

探究3 仍采用位似变换的观点．猜想：点P为代表的轨迹可能在一条直线上．

在图6中，设点F为△OBC的BC边上的中点，QR∥BC，点Q、R分别在OB和OC上，以点O为位似中心，点F经位似变换得到的点K应当是线段QR的中点，当QR作为平行线在OB、OC两边上滑动时，点K的轨迹就构成为△OBC的BC边上的中线OF．回到图5中去，延长梯形的两腰，设交点为O，点O看作位似中心，就可以断言：对角线交点的轨迹就是梯形两底中点连成的线段，不过要除去端点E、F．

评析 该题的原貌是以证明题形式呈现，其给出的证明是过分依赖多组三角形相似，复杂的变式演绎宛如烟雾中变幻的魔术，不能适应学生对图形不断认识、渐进感悟过程，应改为探究题较为适宜；采用为似变换的观点，图中的线段、点的位置关系、依存关系、生成关系一目了然，对图形的解析就能进入一个运动的、变化的、有机的、以及整体的空间观的数学意识之中．

总之，笔者坚决反对将“位似变换”从属于“三角形相似”的知识、方法内容体系，前者能带给解题者迅捷、明晰、有效的解析图形的方法策略，其个性鲜明，有强烈的空间意识，“三角形相似”虽然从内容体系上涵盖了前者，因其泛化造成一定场合下，失去了剖析几何图形的锋利，若不然，新教材增设“位似变换”还有什么意义？再者，“平行”与“位似”在平面几何里形同手足，“平行”往往是几何图形随处可拾的位置关系，我们就没有理由忘记它还有一个十分能干的兄弟. 鉴于文章的篇幅，对“位似变换”在几何作图中的作用，就没有加以举证．

プ髡呒蚪:凌云志，1965年5月生，安徽滁洲人.中学高级教师. 主要研究高、初中数学教研及高考、中考命题研究. 发表多篇论文，荣获黄山区优秀知识分子称号.