从猜游戏看数到式的一个飞跃

作者简介：王继延，理学硕士. 曾执教高中十余年，并任中学校长. 现为华东师范大学数学系教授，国家数学课程标准核心组成员，全国初中数学实验教科书（华东师大版）常务副主编，教育部基础司项目“全国初中毕业、升学考试评价”数学学科负责人. 作为主编或主要人员参与编写或翻译多本数学教育专业著作与教材，如《全国初中数学实验教科书》《基础教育新课程师资培训指导（初中数学）》《数学教与学研究手册》《数学教学理论选讲》《数学物理方程》《文科数学-数学思想和方法》与《高中数学选修读本》等书，在《人民教育》《数学学报》《高等数学研究》《生态学报》《数学教学》等杂志上发表多篇文章.

读者朋友，我们又见面了.上次我们结交了有理数这位好朋友，现在就请王教授带领我们一起见见新朋友——“式”.

你可要知道，这是初中数学学习的一个飞跃，好多年之前中学里学习数学时，就有“代数”之说.代数，顾名思义，就是用字母代替数.而现在有了式与式的运算，以后学习方程、函数等内容，你就会一路顺风啦！

现在先让我们一起做一个猜数游戏：你随便想一个一位正整数，扩大1倍，加上1，再加上所得结果的一半，再乘以2.将你最后得到的结果告诉我，我就可以迅速地说出你原来想的那个正整数.你相信吗？其中的道理么……还是让我们从头慢慢说起吧，说完了，你也就可以自己找到这个问题的答案了.

你是否发现，有时需要用较为简洁的语言表达一些对象.例如，我们可以说出许多偶数：2、4、6……那么如果将偶数按从小到大的顺序排列，你能否迅速报出第100个正偶数呢？总不能一个一个地数下去吧.这时可这样考虑，作为偶数，就是2的倍数，第一个正偶数2是2的1倍，第二个正偶数4是2的2倍，第三个正偶数6是2的3倍，如此类推，第n个正偶数应该是2的n倍，可以简单地写成2n的形式，那么第100个正偶数那就是2×100，即200.你看，这样多简单！

以上表示的是2的倍数，我们还可以用字母表示一个一般的三位数.若设a、b、c分别为一个三位数的百、十、个位上的数字，相信你一定可以将这个三位数表示为含有a、b、c的一个表达式 .

其实上面的表示方式，你在“有理数”一章里早就见过.那时我们讲到有理数的一些运算规律，就是那样写的：若设a、b、c均为有理数，那么就可以用如下式子表示有理数的一些运算规律： a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c），ab=ba，（ab）c=a（bc），a（b+c）=ab+ac.

这里所认识的以及你自己写出来的一系列表达式，都是由数和字母用运算符号连接所成的数学式子，它们就叫做“代数式”.

实际上，这样的例子可以说生活周围处处存在，对于代数式这位朋友的认识，就和平时生活中很多事情一样，看到某一同学，就能知道他的名字；提起他的名字，就能想起他的面貌.因此，在学习中，还应能够结合实际生活经验，对于某些代数式作出相应的解释.如给出代数式 ，可以理解为：甲乙二人自相距50个单位长度的两地相向而行，而二人的速度分别为每小时a、b 个单位长度，则 即为甲乙二人见面所需花费的时间.想一想，还可以如何理解呢？

你现在可能已经注意到，代数式的面貌有很多很多，我们现在所要研究的只是其中的整式，今后你还会与其他的代数式——分式、根式等等打交道呢.而整式是最简单的，也是最基本的代数式，它又可分为单项式与多项式.以后你会一个一个地认识它们，熟悉它们的习性与脾气.

如同你们走路一样，整式的加减有一些必须要遵守的“交通法规”.由于字母所代表的就是数，所以整式的运算，实质上就是数的运算.因此整式的运算，往往最后都归结为数的运算，所依据的都是数的运算律.

例如，合并同类项，这是整式加减的基础.整式的加减运算的根据就是数的运算律（加法交换律、结合律以及乘法关于加法的分配律）.

又如去括号与添括号，就可以分别理解为括号前乘以＋1（括号前是“＋”号）、－1（括号前是“－”号），这样就可以深入理解去括号与添括号的实质了.

说到这里，让我们回过头去，解开当初的游戏奥秘.

若设所想的数为x，那么运算过程如下图.

化简最后的结果，（2x+1）+ ×2= ×2=6x+3.你若告诉我最后的结果是45，那么所想的数肯定是……相信你，一定能够自己算出最初所想的那个数.

下面再给你提供一个数字游戏“有趣的（ 3x+1）问题”，不过这是至今还没有解开奥秘的数学问题，也许你，也许你的小伙伴，经过自己的努力，终究会攀上这个数学的高峰，摘下这颗光芒四射的数学明珠.

这个“（3x+1）问题”是这样的：请你随意给出一个正整数x，若是奇数，按代数式3x+1求出对应值；若是偶数，按代数式 求值.若第一步所得结果是奇数，则继续按代数式3x+1求值；是偶数，则继续按代数式 求值.若第二步……如此继续下去，你会发现一个奇妙的现象.请你用几个不同的正整数，做做这个游戏，看看究竟有多么奇妙.

哈哈，你看，数学是多么的美！

最后用一句话结束我们今天的交流：在学习《整式的加减》时，牢记代数式中的字母是表示数的一个符号，理解了这一点，就会实现从数到式的一个飞跃，这或许就是理解掌握所学数学知识的本质所在吧.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文