“实数”考点追踪

孟　坤

《实数》一章的内容是初中数学的重要内容之一,其知识点的应用较为广泛.正确理解本章中的基本概念,熟练掌握实数的运算规律,是学习其他知识的基础.纵观各地的中考试题,本章的考点主要有以下几个.

考点1 平方根､算术平方根的概念和性质

例1 的算术平方根是( ).

A.- B. C.± D.

解析:因为的平方根是±,所以的算术平方根是,即=. 故选B.

评注:一个正数a的正的平方根叫a的算术平方根,0的算术平方根是0.

例2 的平方根是

.

解析:若审题不清,会认为本题是求16的平方根,结果填±4,从而掉入了命题者设计的陷阱. 本题应先计算出=4,然后再求4的平方根,其正确结果为±2.

评注:在解题过程中,要注意挖掘隐含条件,注意概念间的区别和联系.

考点2 立方根的概念和性质

例3 等于( ).

A.9 B.-9 C. 3 D.-3

解析:因为(-3)3=-27,故-27的立方根是-3,即=-3, 故选D.

评注:负数没有平方根和算术平方根,但负数有一个负的立方根. 本题也可利用=-求解.

考点3 无理数的概念

例4 在下列实数中,无理数是( ).

A. B. C. D.

解析:由于和是分数,所以它们是有理数;而=4,显然也是有理数;只有是无限不循环小数.故选B.

评注:除了要明确有理数和无理数的概念外,还要注意像这样的数,它们虽然带有根号,像是无理数,但实际结果是4,是一个有理数.

考点4 非负性的应用

例5 已知+|b-1|=0,那么(a+b)2 008的值为( ).

A.-1 B.1 C.32 008 D.-32 008

解析:因为≥0,|b-1|≥0,又因为+|b-1|=0,所以=0,|b-1|=0,即a+2=0,b-1=0.解得a=-2,b=1. 所以有(a+b)2 008=(-2+1)2 008=1.故选B.

评注:到目前为止,我们学习了三种非负数:一个是实数的绝对值,一个是实数的偶数次方,还有一个是非负数的算术平方根. 若几个非负数的和为0,则每一个非负数都等于0.

考点5 实数的估算

例6 估算+2的值是在().

A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间D.8和9之间

解析:此题可采用夹逼法求解.因为42<19<52,所以4<<5,故6<+2<7.故应选B.

评注:估算是新课标要求的基本技能,它可以更好地发展数感. 若考场允许使用计算器,也可利用计算器快速求解.

考点6 实数的大小比较

例7 比较2.5,-3,的大小,正确的是().

A.-3<2.5< B.2.5<-3<

C.-3<<2.5 D.<2.5<-3

解析:因为2.52=6.25,2=7,所以2.5<.又因为负数小于所有的正数,所以-3<2.5<. 故选A.

评注:比较两个实数的大小,可以利用平方法,即比较它们的平方数的大小;也可以先估算出无理数的近似值,再按照有理数大小比较的方法进行比较.

考点7 实数与数轴

例8 实数a､b在数轴上的位置如图1所示,则化简代数式|a+b|-a的结果是( ).

A.2a+b B.-2a-b C.a D.b

解析:由数轴可知a<0,b>0,且|a|>|b|,所以a+b<0,则|a+b|-a=-a-b-a.故选B.

评注:实数和数轴上的点具有一一对应关系.在数轴上表示的两个实数,右边的数大于左边的数,离原点越近的数其绝对值越小.

考点8 实数的运算

例9 如图2,在下面两个集合中各有一些实数.请你从中选出2个有理数和2个无理数,再用+,-,×,÷中的3种符号将选出的4个数进行“连接”,使得运算的结果是一个正整数.

解析:本题是一道结论开放型问题,其答案不唯一,只要按照实数的运算法则和题目的要求来设计就可以了.如:(-6)÷3+×=-2+3=1.

评注:实数和有理数一样,可以进行加､减､乘､除､乘方等运算,而且有理数的有关定义､运算法则及运算律对实数仍然适用.

例10 若定义运算“@”的运算法则为:x@y=.那么(2@6)@8=.

解析:本题定义了一种新的运算.理解了符号“@”的意义后,发现它与常规的实数混合运算区别不大. 由题意知,x@y=,所以2@6==4,所以(2@6)@8=4@8==6. 故填6.

评注:所谓新定义的运算是指区别于通常的加､减､乘､除､乘方等运算､人为规定的一种运算. 解此类问题的关键是理解新运算的含义,把陌生问题转化为熟悉的问题加以解决.

考点9 开方的应用

例11 已知正方形和圆的面积均为S.求正方形的周长l1和圆的周长l2(用含S的代数式表示),并比较它们的大小.

解析:设正方形的边长为a,圆的半径为R,则a2=S,R2=S.

解得a=,R==.所以l1=4a=4,l2=2R=2·=2.由于4>2,所以l1>l2.

评注:涉及正方形､圆､正方体､圆柱体等一些常见图形的计算,与等一些无理数有关,常常会用实数的知识解决.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文