分类思想在初中数学教学中的渗透

陈大宁

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想，它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法，它贯穿于整个中学数学的全部内容中．就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种多种可能的；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的．应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化，使学生更易于掌握系统的数学知识．

一、渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常生活中都具有一定的分类知识，如动植的分类、物品的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移

到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透．如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会．

教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法．如：

认识数a可表示任意数后，让学生对数a进行分类，得出正数、零、负数三类．

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识．并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误．如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误．在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论．

二、学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答．掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在．

初中阶段数学分类的方法常有以下几种：

1．根据数学的概念进行分类

有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类．

如：化简｜x-2｜.

解：根据绝对值的概念，可分为三种情况进行讨论．

当x-2＞0，即x＞2时，原式=x-2．

当x-2=0，即x=2时，原式=0．

当x-2＜0，即x＜2时，原式=2-x．

2．根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类

如：解关于x的不等式：ax+3＞2x+a.

解：不等式可化为(a-2)x＞a-3.

当a-2＞0，即a＞2时，不等式的解是x＞(ａ-3)/(ａ-2)．

当a-2=0，即a=2时，不等式的左边=0，不等式的右边=-1，不等式恒成立，所以不等式的解是一切实数．

当a-2＜0，即a＜2时，不等式的解是x＜(ａ-3)/(ａ-2)．

3．根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如：三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分类有斜三角形、等腰三角形；直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交．

三、引导分类讨论，提高合理解题的能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的.

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题．其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题．

如：已知函数y=(m-1)x²+(m-2)x-1(m是实数)．

如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值．

分析：这里从函数分类的角度讨论，分m-1=0和m-1≠0两种情况来研究解决问题．

解：

当m-1=0，即m＝1时，函数就是一个一次函数y=-x-1，它与x轴只有一个交点(-1，0)．

当m-1≠0，即m≠1时，函数就是一个二次函数y=(m-1)x²+(m-2)x-1．

当Δ=(m-2)²+4(m-1)=0，得m=0．

此时抛物线y＝-ｘ²-2x-1的顶点(-1，0)在x轴上．

由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得简单．另一方面，在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣．