分类思想在初中数学教学中的渗透
2008-10-08陈大宁
陈大宁
数学分类思想,就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点,将其分成几个不同种类的一种数学思想,它既是一种重要的数学思想,又是一种重要的数学逻辑方法,它贯穿于整个中学数学的全部内容中.就其引起分类的原因,可归结为:①涉及的数学概念是分类定义的;②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;③求解的数学问题的结论有多种多种可能的;④数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的.应用分类讨论,往往能使复杂的问题简单化,使学生更易于掌握系统的数学知识.
一、渗透分类思想,养成分类的意识
每个学生在日常生活中都具有一定的分类知识,如动植的分类、物品的分类等,我们利用学生的这一认识基础,把生活中的分类迁移
到数学中来,在教学中进行数学分类思想的渗透.如数的分类,绝对值的意义,不等式的性质等,都是渗透分类思想的很好机会.
教授完负数、有理数的概念后,及时引导学生对有理数进行分类,让学生了解到对不同的标准,有理数有不同的分类方法.如:
认识数a可表示任意数后,让学生对数a进行分类,得出正数、零、负数三类.
结合“有理数”这一章的教学,反复渗透,强化数学分类思想,使学生逐步形成数学学习中的分类的意识.并能在分类讨论的时候注意一些基本原则,如分类的对象是确定的,标准是统一的,如若不然,对象混杂,标准不一,就会出现遗漏、重复等错误.如把有理数分为:正数、负数、整数,就是犯分类标准不一的错误.在确定对象和标准之后,还要注意分清层次,不越级讨论.
二、学习分类方法,增强思维的缜密性
在教学中渗透分类思想时,应让学生了解,所谓分类就是选取适当的标准,根据对象的属性,不重复、不遗漏地划分为若干类,而后对每一子类的问题加以解答.掌握合理的分类方法,就成为解决问题的关键所在.
初中阶段数学分类的方法常有以下几种:
1.根据数学的概念进行分类
有些数学概念是分类给出的,解答此类题,一般按概念的分类形式进行分类.
如:化简|x-2|.
解:根据绝对值的概念,可分为三种情况进行讨论.
当x-2>0,即x>2时,原式=x-2.
当x-2=0,即x=2时,原式=0.
当x-2<0,即x<2时,原式=2-x.
2.根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类
如:解关于x的不等式:ax+3>2x+a.
解:不等式可化为(a-2)x>a-3.
当a-2>0,即a>2时,不等式的解是x>(a-3)/(a-2).
当a-2=0,即a=2时,不等式的左边=0,不等式的右边=-1,不等式恒成立,所以不等式的解是一切实数.
当a-2<0,即a<2时,不等式的解是x<(a-3)/(a-2).
3.根据图形的特征或相互间的关系进行分类
如:三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形;按边分类有斜三角形、等腰三角形;直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为:直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交.
三、引导分类讨论,提高合理解题的能力
初中课本中有不少定理、法则、公式、习题,都需要分类讨论,在教授这些内容时,应不断强化学生分类讨论的意识,让学生认识到这些问题,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的、正确的.
一般来讲,利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类:其一是涉及代数式或函数或方程中,根据字母不同的取值情况,分别在不同的取值范围内讨论解决问题.其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况,逐一讨论解决问题.
如:已知函数y=(m-1)x2+(m-2)x-1(m是实数).
如果函数的图象和x轴只有一个交点,求m的值.
分析:这里从函数分类的角度讨论,分m-1=0和m-1≠0两种情况来研究解决问题.
解:
当m-1=0,即m=1时,函数就是一个一次函数y=-x-1,它与x轴只有一个交点(-1,0).
当m-1≠0,即m≠1时,函数就是一个二次函数y=(m-1)x2+(m-2)x-1.
当Δ=(m-2)2+4(m-1)=0,得m=0.
此时抛物线y=-x2-2x-1的顶点(-1,0)在x轴上.
由以上的几个例子,我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得简单.另一方面,在讨论当中,可以激发学生学习数学的兴趣.