解答二次根式问题常见错误分析
2008-09-27周宏文
周宏文
例1(填“是”或“不是”)分数.
错解:是.
评析: 受分数线的影响,误以为 是分数.是不是分数,不能光看形式,而要看结果.如果假设它是分数,则它必是有理数,与它是无理数相矛盾!所以它不是分数.
正解:不是.
例2 计算: .
错解:原式= + =1 .
评析: 误以为存在结论“ = + (a≥0,b≥0)”,其实,一般情况下“ ≠ + (a≥0,b≥0)”.
正解:原式= = =1 .
例3 化简: .
错解:原式= =m+n .
评析: 解答有两个错误:一是m+n是一个整体,必须加括号;二是并不知道m+n是正是负,因此要加绝对值.
正解:原式= =|m+n| .
例4 把式子a 中根号外的因式适当改变后移到根号内,并使原式的值不变.
错解:原式== .
评析: 利用公式a= (a≥0)时,前提是a≥0.根号外的负因式(数)不能移进根号内,如-2≠ .因此,在将根号外的因式(数)移进根号内前,一定要先判断所移因式(数)是否非负.
正解:由题意可知- ≥0,得a<0,所以-a>0.
∴原式=-(-a) =-=- =- .
例5 化简: .
错解:原式= + = + = =2 .
评析: 在a≥0,b≥0时,有 = • ,但一般情况下 ≠ ± .
正解:原式= = .
例6 化简: .
错解:原式= = .
评析: 解答忽视了“m<0”这个隐含条件.
正解:由题意得m<0.
∴原式= = =- .
例7 计算: ÷ × .
错解:原式= ÷1= .
评析: 乘、除是同级运算,应按照从左到右的顺序做,不应先算后面的乘法.
正解:原式= × × = .
例8 计算: ÷2 .
错解:原式= ×==m.
评析: 这里把除法变为乘法时,把2 的倒数误认为.
正解:原式= ×==2.
例9 计算: ÷( + ).
错解:原式= ÷ + ÷ = + .
评析: 受“乘法分配律”的影响,误以为存在“a÷(b+c)=a÷b+a÷c”这一结论.
正解:原式= = =3 -2 .
例10 已知0 错解:原式=(m-1)-(m+1)=-2. 评析: 这里忽视了“0 正解:由0 ∴原式=|m-1|-|m+1|=1-m-(m+1)=-2m. 例11 化简: . 错解:原式= = - . 评析: 当x=y>0时, - =0,错解是将原式分子分母都乘以一个可能等于0的式子,所以这种方法是错误的. 正解1:(1) 当x=y时,代入原式,得原式=0. (2) 当x≠y时, - ≠0,解法同错解. 综合(1)(2),得原式= - . 正解2:显然x,y均为非负数. ∴原式= = - . 练习题 已知方程x2+3x+1=0的两个根为α,β,求 + 的值. 解:由Δ=32-4×1×1=5≠0,可得α≠β. 由一元二次方程的根与系数的关系,得α+β=-3,α β=1. ∴原式= + = = =-3. 请指出解答中的错误,并给出正确解答. 责任编辑/冯 琦 注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”