高中数学教学中错解的教育功能

2008-09-08谭绍锋

中学生数理化·教与学 2008年5期

谭绍锋

学生在学习数学过程中出现错解是不可避免的，学生的错解暴露了学生在基础知识、基本技能和基本的思想方法等方面的问题．一部分学生的错解可能代表了一类普遍的错误倾向，甚至在一些错解中还隐含着宝贵的教学资源.因此在数学教学中必须充分重视与正确分析学生的错解，把错解这一教学题材进行深度挖掘，充分利用好错解的教育功能.以下是笔者就如何利用“错解”为载体对学生进行数学教育的体会.

一、纠正错解能使学生加深对知识的理解

在高中数学新课程（人教A版）新增内容“极限与导数”一章中，切线概念的学习就是一个十分典型的例子.

例1求曲线S：y=3x-x３通过点A（2，－2）的切线方程.

学生的错解:因为y′=3-3x２，所以y′｜=-9，所以所求切线方程为y+2=-9（x-2），即y=-9x+16.

正确的解法:y′=3-3x２，设切点P（x０，y０），则P处的切线方程为l:y-y０=（3-3x2０）（x-x０）.由点A在l，有l:-2-y０=（3-3x2０）（2-x０）.又点P在曲线S上，故y０=3x０-x３０，代入上式得-2-3x０+x３０ =（3-3x2０）（2-x０）.整理得x３０ -3x2０+4=0，即（x０-2）２·（x０+1）=0，所以x０=2或x０=-1.①当x０=2时，P为（2,-2），切线方程为y=-9x+16. ②当x０=-1时，P为（-1,-2），切线方程为y=-2.

分析:曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点，求曲线过某一点的切线方程，这一点未必一定是切点，有可能以另一点为切点的切线刚好过该点.

在教学实践中我们发现，让学生从错误中明白过来比反复灌输正确的理论效果要好，正所谓“恍然大悟”.心理学实验告诉我们：“差别大的东西、异常的信号，往往会首先引起人的注意；同样的东西，变换一个角度或提法，常常会给人以新鲜的感觉.” 这样做不仅能及时总结思维方法，积累解题经验，而且还能培养学生的鉴赏和评估能力，加深对知识的理解.

二、利用错解培养学生的发散思维

学生思维的发散力强，在很多问题的探索中，会产生许多奇思妙想，但有时由于理解的深度不够，考虑欠周密等都可能产生错解，这时教师要引导学生反思错解的原因并寻找突破口，而不能简单地全盘否定他们的探究精神和创新设想.事实上如果经过教师启发，再探究吸取一些合理因素，往往就能完善解题，也从中可以培养学生的发散思维.

例2已知函数y=（x≥4），请探讨求这个函数最值的各种方法.

生：（有部分学生举手回答）解法一：（判别式法）

∵x≥4，x-3≠0， ∴ 把原式转化为方程2x２-yx+3y=0.利用判别式法得Δ=y２-24y≥0，则y≥24或y≤0.

∵x≥4， ∴ y>0, ∴ y≥24，即ymin=24，但无最大值.

师：此解法对吗？

生：（有部分学生回答）不正确，原因是Δ≥0不一定能保证根x≥4.

师：如何改正？

生：设f（x）=2x２-yx+3y，利用实根分布法得Δ=y２-24ｙ≥0，x１+x２=-≥8（因为x≥4），f（4）=32-4y+3y≥0．

解得，24≤y≤32.

师：这个改正对吗？实践检验，取y=40代入，得x２-20x+60=0，解得x=10+2>4或x=10-2（舍去），可见存在x=10+2，使y=40>32，可见上述解法还存在问题，怎样修正？

生：上述不等式组仅仅给出在[4，+∞）上有两个实根的情形，还应补上在[4,+∞）上有一实根的情形:Δ=y２-24≥0，f（4）=32-4y+3y≤0．解得y≥32.

综上可得y≥24. ∴ ymin=24，但无最大值.