函数奇偶性在解题中的应用

周学勤

函数奇偶性是函数的基本性质之一,在中学数学教学中起到举足轻重的作用.若能熟练掌握,灵活运用,对于一些题目具有独特的功效.下面就笔者的一些实践体会,举例加以说明.

一、求函数的解析式

例1已知x∈（-1,1）,且f（x）是偶函数，g（x）是奇函数,若f（x）+g（x）=2lg（1+x）,求f（x）与g（x）的解析式.

解: 由f（x）+g（x）=2lg（1+x），得f（x）=2lg（1+x）-g（x）．（1）

∵f（x）是偶函数,g（x）是奇函数，∴ f（-x）=-f（x）,g（-x）=-g（x）.

故f（-x）=2lg（1-x）-g（-x），即f（x）=2lg（1-x）+g（x）.（2）

由（1）+（2）得2f（x）=2lg（1+x）+2lg（1-x）， ∴ f（x）=lg（1-x２）.

二、求值

例2已知关于x的方程x２-2arcsin（cosx）+a２=0有唯一解,求a的所有值.

解: 考察函数f（x）=x２-2arcsin（cosx）+a２,则其定义域为R,且为偶函数.由题设知f（x）=0有唯一解,而由于偶函数的图像关于y轴对称,故此解必为0．

三、求函数的周期

例3设f（x）为偶函数,g（x）为奇函数,且f（x）= -g（x+c）（c＞0）,则f（x）是以____为周期的函数.

解: ∵f（x）=f（-x）= -g（-x+c）=g（x-c）=-f（x-2c）， ∴ f（x+4c）=-f（x+4c-2c）=-f（x+2c）=f（x+2c-2c）=f（x）， ∴ f（x）是以4c为周期的周期函数.

四、求函数的值域

例4已知x，y∈R，且f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0，f（1）=2，求f（x）在［-5,5］上的值域.

解: 令y=x=0,则有f（0）=0，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0.

∴f（x）为奇函数,而f（5）=f（4+1）=f（4）+f（1）=f（3+1）+f（1）=……=5f（1）=10，f（-5）=-f（5）=-10，故f（x）在［-5,5］上的值域为［-10,10］.

五、求函数的单调区间

１）；当1≥x２＞x１＞0时，g（x２）＜g（x１）.由g（x）是偶函数知，g（x）在［-∞,-1］上递减,在[-1,0]上递增.

六、比较函数值的大小

例6已知奇函数f（x）的定义域为R，它在[0,1]上是增函数,且f（x+1）是偶函数,试比较f（3），f（4），f（5）的大小.

解: ∵f（x）在[0,1]上递增， ∴ f（1）＞f（0）．又∵ f（x）为奇函数， ∴ f（x）在[-1,0]上递增，即f（0）＞f（-1）． ∴ f（1）＞f（0）＞f（-1）.

而f（x+1）是偶函数,即f（x+1）=f（-x+1）．则f（3）=f（2+1）=f（-2+1）=f（-1）=-f（1）．

f（4）=f（3+1）=f（-3+1）=f（-2）=-f（1+1）=-f（-1＋1）=-f（0）．

f（5）=f（4+1）=f（-4+1）=f（－３）=-f（3）=-ｆ（-1）.

∴f（5）＞f（4）＞f（3）.

七、证明命题

例7已知f（x）是定义在R上的奇函数,若f（x）=0有n个实根,证明n必为奇数.

证明:∵f（x）是R上的奇函数， ∴ f（-x）=-f（x），则f（0）=-f（0），即f（0）=0，即0是f（x）的一个实根.若f（x）=0除了x=0这个实根外,还有实根x１，x２，x３，…，xｋ（k∈N）.而f（x）是奇函数，可知-x１，-x２，-x３，…，-xｋ也必为f（x）=0的实根,即f（x）=0的非零实根必成对出现,故f（x）=0的实根个数n必为奇数.

八、证明条件等式

例8已知α≠kπ+，β≠kπ（k∈Z），且2（tgα+ctgβ）３+ctg３β+2tgα+2ctgβ=0.求证：tgα·tgβ=-1.

证明:构造函数f（x）=x３+x（x∈R），则有f（2tgα+ctgβ）+f（ctgβ）=0.

而f（x）显然为奇函数,且是严格递增的,则f（2tgα+ctgβ）=-f（ctgβ）=f（-ctgβ），由f（x）是严格递增函数知2tgα+ctgβ=-ctgβ.整理即有tgα·ctgβ=-1.

九、证明不等式

例9求证:当x＜0时，f（x）=＞0.

证明:∵f（x）+f（-x）=0,则f（x）为奇函数.

当x＞0时，＜0，即f（x）＜0.

十、解方程

例10解方程ln（-x）+ln（-2x）+3x=0.

解:略.

函数奇偶性还可用来解决许多问题,比如求其他函数的奇偶性、作图等.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文