直角三角形全等面面观

作者简介：王东升，男，省、市级骨干教师，现任辽宁省阜新市教师进修学院初中部数学教研员，刊发文章10余篇（在《数学教师》、《山西中学数学》、《中国数学教育》等期刊上），对习题的变式有较深入的研究. 创办有阜新数学资源网（www.fxsx123.com）.

[问题与情境]

（1） 如图1，有两架等长梯子，利用它来攀登某建筑物，如果梯子的着地点距离墙是等远的，那么，请你判断：两架梯子所攀登的最高点是否相同？为什么？让我们来认识其中的道理吧！

（2） 上面的问题转化为数学问题即为：在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，∠C = ∠F = 90°，是否有AC = DF 呢？如图 2．

（3） 同学们一定感觉到这是有关三角形全等的问题，那么，图 2 中这两个三角形全等吗？条件较少（两边、一直角，可怕的“边边角”）．用我们探索三角形全等的方法来研究一下吧！

（4） 比如，给定AB = DE = 5 cm，BC = EF = 3 cm，分别画出直角三角形ABC和直角三角形DEF，将两个三角形叠合，你发现了什么？如果方便，你可以在电脑上多作一些不同大小的三角形，来验证你的猜想．快把你的猜想总结出来吧！

（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”）

（5） 我们不妨把直角三角形的全等判定方法“盘点”一下，你能够用几种方法说明直角三角形全等？（有“边边边”、“角边角”、“角角边”、“边角边”和“斜边、直角边”）

[开眼界]

也许有些同学会想到：“斜边、直角边”有点象“边边角”的组合，而从前面我们探索三角形全等条件时是没有这种条件的，这不是前后矛盾吗？这并不矛盾．我们知道，“边边角”之所以不能判定一般的三角形全等，是因为“条件不足以确定三角形的形状”（如图3），如果可以确定三角形的形状（同是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形），那么，满足“边边角”条件的三角形也是可以说明其全等的．

如图4，在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，∠ACB = ∠DFE = 110°，则有△ABC△DEF，这时，再也画不出反例的图形了，略证如下：作BG⊥AC交其延长线于G，EH⊥DF交其延长线于H．由已知得，在△BCG和△EFH中，∠BGC = ∠EHF = 90°，∠BCG = ∠EFH = 70°，BC = EF，所以，△BCG△EFH．所以，BG = EH，又∠BGA = ∠EHD = 90°，由“HL” ,得 △ABG△DEH，则∠A = ∠D，所以，由“角角边”可证△ABC△DEF．

如此可见，“边边角”的条件不能保证三角形一定全等，但也并非一定不全等．“斜边、直角边”与等腰三角形的性质的关系密切,一定要好好把握.另外，后续知识的学习（如勾股定理、锐角三角函数），也会帮助我们加深对“斜边、直角边”的理解．

[经典例析]

例1 已知：如图 5，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF = AC，FD = CD．求证：BE ⊥ AC．

点拨：如图5，若要证BE⊥AC，只需说明∠1 ＋ ∠C = 90°即可．而AD为△ABC的高，故有∠CAD ＋ ∠C = 90°（这个环节十分关键，能否化解问题、联系已知，就在于此）．如此，我们只需说明∠1=∠CAD．而∠1、∠CAD分别是△BDF和△ADC的角，所以，只要说明△BDF△ADC，而这由已知条件是不难说明的．另外，试着将题目中某已知与结论对换，看看是否成立，你会有更多收获．

解：因为AD为△ABC的高，所以∠ADB = ∠ADC = 90°．在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF = AC，FD = CD，所以Rt△BDFRt△ADC．所以∠1 = ∠CAD．因为∠ADC = 90°，所以∠C ＋ ∠CAD = 90°．所以∠C ＋ ∠1 = 90°．所以∠BEC = 90°，即BE⊥AC．

例 2 如图 6，已知∠ACE = 90°，AC = EC，B为AE上一点，ED⊥CB于点D，AF⊥CB交CB的延长线于点F．求证：DF = DE － AF．

点拨：由图知，DF = CF － CD，如果能说明CF = DE，CD = AF，就能得DF = DE － AF．CF、AF与DE、DC分别是△ACF和△CED的边，如果能说明△ACF△CED，就能得CF = ED，AF = CD．由已知条件可说明△ACF △CED．（若把题目中AE上的点B运动至AE或EA的延长线上时，结论会怎样呢？原来的结论仍然成立吗？相信你能把“几何”学“活”）

解： 因为AF⊥BC，DE⊥BC，所以∠AFC = ∠CDE = 90°．所以∠DCE ＋ ∠DEC = 90°．因为∠ACE = 90°，所以∠ACF ＋ ∠DCE = 90°．所以∠ACF = ∠DEC．

在△ACF和△CED中，∠AFC = ∠CDE，∠ACF = ∠DEC，AC = CE，所以△ACF△CED（AAS）．所以CF = DE，CD = AF．所以DF = CF － CD = DE － AF．

[即学即练]

1. 如图 7，已知CD⊥AB于D，CD = BD，下列4个条件：①AD =ED；②∠A = ∠BED； ③ ∠C = ∠B； ④ AC = EB．其中能得出△ADC△EDB的条件是（）.

A. ① B. ②③④ C. ①④ D. ①②③④

2. 如图 8，已知△ACD中，AB⊥CD于B，BD ＞ BC，△BCE和△ABD都是等腰直角三角形．下面4个结论：①△ABC△DBE； ②△ACE△ADE； ③AC = DE；④E是△ACD的3条高的交点．其中正确的是（）.

A. ①②③ B.①③④ C.①②④ D. ②③④

3. 如图 9，已知AB = AC，AE = AF，AD⊥BC，则图中全等三角形有（）.

A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对

4. 如图10，已知AD = BC , AE、 CF分别垂直BD于E、F , AE = CF , 则图中相等的角（除直角外）有 （）.

A． 3 对B． 4 对C． 5 对 D． 6 对

5. 判定两个三角形全等，给出如下5组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等； ③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；⑤两个直角三角形的一直角边和斜边上的高对应相等．其中能判定这两个三角形全等的条件是（）.

A.①②③ B.①④⑤ C.②③⑤ D.②③④

6. 如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别相等，那么这两个三角形第三边所对的角的关系是（）.

A. 相等 B. 不相等 C. 互余 D. 互补或相等

7. 如图 11，已知点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB ＝ DE，BF ＝ CE．

求证：（1）△ABC△DEF；（2）GF ＝ GC．

8. 如图 12，已知四边形ABCD中，AB = AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有无和△ABE全等的三角形？说明理由．

9. 如图13，已知AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE = CF．求证：AD是∠BAC的平分线．

[中考风向标]

1. （2007年·芜湖市）如图14， 在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH = EB = 3，AE = 4，则CH的长是（）.

A． 1 B． 2 C． 3 D．4

点拨：解决问题的关键是要能从复杂图形中分离出基本图形，在学习中认清全等三角形之间的平移、旋转、对称、翻折等空间关系，从而找到关键的三角形，题目难度不大，但突出考查了空间能力及三角形全等的基本知识．

解：因为AD⊥BC，CE⊥AB，所以∠BCE ＋ ∠CHD ＝ ∠AHE ＋ ∠EAH =90°．又因为∠CHD ＝ ∠AHE，所以∠BCE ＝ ∠EAH．而∠BEC ＝ ∠HEA = 90°，所以Rt△BECRt△HEA．所以CE = AE = 4，则CH = CE － EH = 1．

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