感悟三角形角平分线和中线的概念

谭水报

[问题与情境]

1. 准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.

（1） 你能分别画出这 3 个三角形的 3 条角平分线吗？

（2） 你能用折纸的办法得到它们吗？

（3） 在每个三角形中，这 3 条角平分线之间有怎样的位置关系？

2. 在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的 3 条中线，它们有怎样的位置关系？钝角三角形和直角三角形的 3 条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴交流.

结论：三角形的 3 条角平分线交于一点，3 条中线交于一点.

[开眼界]

中国近现代数学发展时期

中国近现代数学开始于清末民初的留学活动. 较早出国学习数学的有：1903 年留日的冯祖荀，1908 年留美的郑之蕃，1910 年留美的胡明复和赵元任，1911 年留美的姜立夫，1912 年留法的何鲁，1913 年留日的陈建功和留比利时的熊庆来（1915 年转留法），1919 年留日的苏步青等人. 他们中的多数回国后成为著名数学家和数学教育家，为中国近现代数学发展作出重要贡献.20 世纪30 年代出国学习数学的还有江泽涵、陈省身、华罗庚、许宝等人，他们都成为中国现代数学发展的骨干力量. 1935 年中国数学会成立大会在上海召开，共有33名代表出席. 1936 年《中国数学会学报》和《数学杂志》相继问世，这些标志着中国现代数学研究的进一步发展. 建国后的数学研究取得长足进步.20 世纪 50 年代初期就出版了华罗庚的《堆垒素数论》（1953）、苏步青的《射影曲线概论》（1954）、陈建功的《直角函数级数的和》（1954）和李俨的《中算史论丛》（5辑，1954～1955）等专著．到1966 年，共发表各种数学论文约 2 万余篇. 除了在数论、代数、几何、拓扑、函数论、概率论与数理统计、数学史等学科继续取得新成果外，还在微分方程、计算技术、运筹学、数理逻辑与数学基础等分支有所突破，有许多论著达到世界先进水平，同时培养和成长起一大批优秀数学家.20 世纪 60 年代后期，中国的数学研究基本停止. 1970 年《数学学报》恢复出版，并创刊《数学的实践与认识》. 1973 年陈景润在《中国科学》上发表《大偶数表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》的论文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就. 此外中国数学家在函数论、马尔可夫过程、概率应用、运筹学、优选法等方面也有一定创见. 1978 年11月中国数学会召开第三次代表大会，标志着中国数学的复苏. 1978 年恢复全国数学竞赛，1985 年中国开始参加国际奥林匹克数学竞赛. 1981 年陈景润等数学家获国家自然科学奖励. 1983 年国家首批授予18 名中青年学者以博士学位，其中数学工作者占．1986年中国第一次派代表参加国际数学家大会，加入国际数学联合会，吴文俊应邀做了关于中国古代数学史的演讲.1985 年庆祝中国数学会成立 50 周年年会上，已确定中国数学发展的长远目标，立志要不懈地努力，争取使中国在世界上早日成为新的数学大国.

[经典例析]

例 1 如图1，在△ABC中，BD = CD，∠ABE = ∠CBE，BE 交 AD 于点 F，则：

（1） AD是三角形 的 线， 是△BCE 的中线；

（2） BE是三角形 的 线， 是△ABD 的角平分线.

解：（1） ABC 中 ED

（2） ABC 角平分 BF

依据三角形角平分线、中线的定义，由角相等、线段相等来确定哪条线段是角平分线和中线.要特别注意：三角形的角平分线、中线都是线段；一个三角形有 3 条角平分线和 3 条中线，且都在三角形内.

例2 如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=2∠A，BD是△ABC的角平分线，求∠CDB的度数.

解：因为∠C=90°，所以∠CBA+∠A=90°.又因为∠ABC=2∠A，所以∠A=30°，∠CBA=60°.又因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBD=∠CBA=30°.而∠CBD+∠CDB=90°，所以∠CDB=60°