“花开满堂”又未“圆”

蔡卫兵

为方便阐述，现将《中学数学杂志》2006年第5期“此处花开香满堂”简称文^[1]，《中学数学教学参考》2007年第6期“一堂节外生枝的数学课”简称文^[2]，《中学数学杂志》2007年第6期“‘花开满堂并未‘圆”简称文^[3]，原题：如图1，正方形ABCD和正方形EFGC的边长分别为a、b，用含a、b的代数式表示△DBF的面积.

1 原文概述

文^[1]表述了6个学生的不同解法，抓住正方形的本质特征，凸显转化思想，结果是S△DBF=12a²，描述了学生在兴趣的指引下思维大放异彩，产生了一连串精彩的回答. 文^[2]阐述了学生对原题的一个变式的自主探索，变式：如图2，如果题目条件不变，求△AEG的面积. 学生大胆而热情地表达自己的思维成果，寻求最佳解法，结果是S△AGE=12b²，充分关注学生解题的过程分析，总结提炼解法的本质，可谓是一堂富有生机、充满活力、体现创新精神的数学活动课. 文^[3]重视了解题的结果分析，发现了原题与变式都出现题设条件过剩的共性问题，以此为契机，探究若正方形ABCD绕点C顺时针方向旋转，在什么情况下正方形EFGC的边长不影响△DBF的面积，揭示了问题的本质特征.

2 提取信息，拓展问题

非常明显，上述问题只有当点D在EC或EC的延长线上时，不论正方形EFGC的边长如何变化，△DBF的面积都是12a²(定值)，体现了正方形和图形对称性的基本特征，那么对于其它的正多边形是否有共性问题呢，由此产生的思维火花的碰撞，不正是培养学生的批判思维、探究能力和创新精神的最佳时机吗?

问题1 如图3，正△ABC和正△CDE，点A在EC边上，若只知道正△ABC的边长为a，能否用含a的代数式表示△ABD的面积?

问题2 若正△ABC绕点C顺时针方向旋转，在什么情况下正△CDE的边长不影响△ABD的面积?

问题3 如图4，正五边形ABCDE和正五边形A1B1CD1E1，点D在CD1上，若只知道正五边形ABCDE的边长为a，能否用含a的代数式表示△ADA1的面积?

问题4 如图5，正六边形ABCDEF和正六边形A1B1CD1E1F1，点D在CD1上，若只知道正六边形ABCDEF的边长为a，能否用含a的代数式表示△AF1D的面积?你还能表示哪些类似于△AF1D的三角形的面积?

图3 图4 图5结合“原题”与问题，明确目标，类比联想，灵活迁移，问题1，△ABD的面积转化△ABC的面积=34a²；问题2，列举各种情况图形，只有当点A在EC或EC的延长线上时，不论正△CDE的边长如何变化为△ABD的面积都是34a²(定值)；问题3，连结CA1，△ADA1，的面积可转化为△ADC的面积=14tan72°·a²；问题4，连结CF1，将△CF1D的面积转化为△ADC的面积=32a²，还有图5中的△BDE1的面积可转化为△BDC的面积=34a²，△FDA1的面积可转化为△FDC的面积=32a²，△EDB1的面积可转化为△EDC的面积=34a²等等.

3 整合信息，深化问题

莱布尼茨(G.W.Leibniz)曾说过：“解题既要展示‘解的思维过程，又要探索‘解的内部境界.”由于正多边形的基本特征和目标三角形与已知条件的差异性，通过两条平行线间的距离相等转化矛盾，从而发现如上所述的三角形面积与其中一个正多边形的边长无关，对于正七边形、正八边形等类似情形同样成立(例如图6中的△GDG1的面积可转化为△GDC的面积=14tan540°7·a²，图7中的△HDG1的面积可转化为△HDC的面积=12tan67.5°·a²). 其实对数学家或好的问题解决者来说，一个问题的解决往往孕育着新问题的产生，正如文^[3]指出文^[1]、文^[2]中均未发现其中一个正方形的边长的题设条件过剩的共性问题，剖析上面习题，是否一定要有正多边形过强的题设条件呢，从而又引发一个节外生枝且有价值的思考，正是培养学生思维灵活性与深入性的好素材.

问题 能否适当减弱正多边形这个题设条件，使得类似上述图形位置时的目标三角形的面积与其中一个多边形的各边长无关?适当改变条件，求目标三角形的面积.

体会上述的解题思想和解题方法，解题的关键是构造平行线，利用同底等高转化目标三角形的面积为其中一个多边形中的某个三角形的面积，事实上对于两个相似的多边形如下图所示的情形都有类似的结论. 例如：图8，若△ABC的面积为S，△ABC∽△CDE，则∠BAC=∠DCE，所以AB∥CD，△ABD的面积=△ABC的面积=S，图9、图10四边形ABCD∽EFGC，则△BDF的面积=△BDC的面积.

4 总结信息，反思教学

数学学习离不开解题学习，数学解题学习对学生巩固知识、培养素质、发展能力和促进个性心理发展都具有极其重要的作用和意义. 总结文^[1]、文^[2]、文^[3]对这一习题的处理，其中所蕴含的解题过程的择优性、典型习题的多变性和习题归类的类比性是值得借鉴的. 既有问题解决的过程探究，又有结果分析的本质揭示，充分暴露思维角度及认知观点，使学生的思维一直处于积极、活跃的状态，无疑锻炼学习主体参与活动的灵活性和探究性. 但还需教师课前作进一步的创新“预设”，充分发掘习题中的奇珍异宝，反复孕育，精心提炼，着意渗透，显然可引导学生对问题作出具有个性特点的表征，使学生的思维逐渐朝着灵活、精细、新颖的方面发展，把数学的思想、精神内化为学生个体的观念、品质，从而促进学生有效而丰富的解题行为.

参考文献

[1] 赖闻晓.此处花开香满堂[J].中学数学杂志，2006，(5).

[2] 蒋柏孟.一堂节外生枝的数学课[J].中学数学教学参考，2007，(6).

[3] 罗全民.‘花开满堂并未‘圆[J].中学数学杂志，2007，(6).

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