《勾股定理》测试题
2008-06-19何春华
何春华
下棋要找高手.只有不怕在能者面前暴露自己的弱点,才能不断进步.
——华罗庚(中国当代数学家)
一、填空题
1. 利用4个全等的直角三角形可以拼成图1右边所示的图形.这个图形被称为弦图.从图中可以看到:大正方形面积=小正方形面积+4个直角三角形面积,即c2= + .化简后即为c2= .
2. 在Rt△ABC中,∠C=90°.若BC=5,AC=12,则AB= ;若AC=8,AB=17,则S△ABC= .
3. 已知△ABC中,∠ACB=90°.分别以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形,如图2.S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积.若S1=81,S3=225,则S2= .
4. 在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,则BC边上的高为 .
5. 如图3所示,有两棵树,一棵高6 m,另一棵高3 m,两树相距4 m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,它至少飞了 m.
6. 如图4,AB⊥CD于B,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形.如果CD=17,BE=5,那么AC的长为 .
7. 如图5所示,校园内有一块长方形花圃.有极少数人为了避开拐角,走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1 m),却踩伤了花草.
8. 在一场足球比赛中,球员A欲传球给同伴B,距球员A7.5 m远的对方球员C意图抢断传球(如图6所示).已知球的速度为17 m/s,当球由球员A传出时,球员C选择从与AC垂直的方向出击,0.5 s后恰好在D处将球抢断,则球员C的速度为 m/s.(忽略球员的反应速度和天气等因素)
二、选择题
9. △ABC中,∠A,∠B,∠C的对边为a,b,c.下列说法正确的是().
A. 若a,b,c是△ABC的三边长,则a2+b2=c2
B. 若a,b,c是Rt△ABC的三边长,则a2+b2=c2
C. 若a,b,c是Rt△ABC的三边长,∠A=90°,则a2+b2=c2
D. 若a,b,c是Rt△ABC的三边长,∠C=90°,则a2+b2=c2
10. 在图7中,边长x等于5的三角形有().
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
11. 已知某直角三角形的两边长分别是6和8,则第三边长为().
A. 10B. 2C. 10或2D. 无法确定
12. 在△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则BC∶AC∶AB为().
A. 1∶2∶3B. 1∶∶C. 3∶2∶1D. 1∶∶2
13. 一架长为2.5 m的梯子,斜立在一面竖直的墙上,梯足距离墙底端0.7 m.如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m,那么梯足将滑动().
A. 0.9 mB. 1.5 m C. 0.5 m D. 0.8 m
14. 如图8所示,有一直角三角形纸片ABC,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm.现将纸片沿直线AD折叠,使点C落在AB上的点E处,则CD的长为().
A. 2 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 5 cm
三、解答题
15. 图9的正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.请以格点为顶点,分别按下列要求画三角形.
(1)使三角形的三边长分别为3、2、(在图9①的网格中画一个即可);
(2)使三角形为钝角三角形,且面积为2(在图9②的网格中画一个即可).
16. 如图10,在△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高AD.
17. 如图11,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线交BC于D,垂足为E.BD=4 cm.求AC的长.
18. 如图12所示,有一个棱长为9 cm的正方体,一只蚂蚁要沿正方体的表面从顶点A处爬到点P处.点P在棱FG上,且距顶点F 3 cm.求蚂蚁爬行的最短距离.
19. 如图13所示,在公路AB旁的C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为300 m,与公路上另一停靠站B的距离为400 m,且CA⊥CB.为了安全起见,爆破点C周围250 m范围内不得进入.问:在进行爆破时,公路AB段是否有危险?是否需要暂时封闭?
20. 图14是两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c.图15是直角边长为c的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个能够证明勾股定理的图形.
(1)画出拼成的图形的示意图,写出它是什么图形.
(2)用这个图形证明勾股定理.
(3)假设图14中的直角三角形有若干个,你能运用所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图(不需要证明).
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。