一个与勾股定理有关的结论

彭翕成

勾股定理的数学表达形式是a2+b2=c2.从数的“方”（平方）联想到形的“方”（正方形），人们不难想到要以Rt△ABC的各边为边向外作正方形ABDE，CBFG和ACHI（如图1），于是由勾股定理有S正方形ABDE=S正方形CBFG+S正方形ACHI .这个图形太常见，太普通了，我们可以尝试作点变化，适当加点东西.例如，连接EI，HG，FD，如图2.

在图2中，观察图形中的面积关系，由全等三角形很容易得出S△ABC=S△CGH .我们是不是可以猜想，有更多的三角形面积相等呢？譬如，S△ABC与S△BDF是不是相等呢？根据三角形面积公式，由于AB=BD，若AB边上和BD边上的高相等，则两三角形面积相等.作出对应的高CJ和FL，又可转化为证明△CJB≌△FLB（图3）.由于∠JBC=∠LBF（与同角互余的两角相等），根据AAS，易证△CJB≌△FLB.从而S△ABC=S△BDF .同样地，可以证明S△ABC=S△AIE.综上所述，我们可以得到一个结论：S△ABC=S△BDF=S△CGH=S△AIE.

需要指出的是，即使△ABC不是直角三角形，刚才得出的三角形面积相等的结论也是成立的，证明的过程也一样.为什么呢？细心的读者会发现，在前面的说明过程中，根本就没有用到∠ACB=90°这一条件！

下面，我们根据前面的分析来解几个题目.

例1如图2，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∠ACB=90°，以Rt△ABC的各边为边向外作正方形ABDE，CBFG和ACHI，求S六边形EDFGHI.

解析：据前面的分析，我们可得S△ABC=S△BDF=S△CGH=S△AIE，而S正方形ABDE=S正方形CBFG+S正方形ACHI，则S六边形EDFGHI=4S△ABC+2（S正方形CBFG+S正方形ACHI）=4×6+2×25=74.

例2如图4，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，以Rt△ABC的各边为边作正方形ACDE，ABFG和BCHI.求阴影部分的面积.

解析：因所求阴影部分不是规则的图形，所以我们希望将之转化为规则图形.首先，我们可以证明点E是在GF的延长线上.事实上，连接GE，由SAS可证△GAE≌△BAC.从而GE⊥GA.而GF⊥GA，故F在GE上.同理，D在HI上.根据SAS可知，△ABC≌△AGE≌△DHC，从而FE=GE-GF=GE-GA=HC-HD=BC-HD=ID.又因为∠FEJ=∠ACB=∠HCD=∠KDI，∠EFJ=∠DIK=90°，所以△FEJ≌△IDK.因此，S阴影=S△AGE+S△DHC=2S△ABC=12.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。