解读一元一次不等式及其性质

何炳均

同学们都知道不等式是初中数学的重点和难点，也是历年中考的热点．要想学好不等式，就要认真理解不等式的概念和性质.如何掌握这些基础知识呢？本文将结合例子进行说明．

一、不等式

1． 概念

像<，x>50这样用不等号表示大小关系的式子叫做不等式．应注意，像a+2 ≠ a-2这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．

理解不等式的概念应抓住两点：一是含有不等号；二是不等号两边是数或式子．

2． 常见的不等号的类型

（1）“≠”读作“不等于”，表示两个量之间的关系是不等的，但不知道谁大谁小；

（2）“>”读作“大于”，表示左边的量比右边的量大；

（3）“<”读作“小于”，表示左边的量比右边的量小；

（4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量大于或等于右边的量；

（5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量小于或等于右边的量．

例1用不等式表示下列数量关系．

（1）a比-3大．

（2）a的5倍是正数．

（3）x与y的差的绝对值是非负数．

（4）a的平方与b的平方之和的倒数不大于4．

[分析：]应先正确列出相应的代数式，再用不等号连接起来．

解： （1）a>-3．

（2）5a>0．

（3）|x-y|≥0．

（4）≤4．

[说明：]在列不等式时，要注意“非负数”、“不大于”等词语的含义．

二、不等式的解和解集

不等式的解是指使含未知数的不等式成立的未知数的值．

不等式的解集是指一个不等式所有解的集合．

一个不等式可能有一个解、两个解、无数个解，也可能无解.一个不等式的解集只有一个．如果一个不等式无解，但解集是有的，只不过这个解集中没有一个数值，集合是空的．

例2下列说法错误的是（ ）．

A． x<2的负整数解有无数个

B． x<2的整数解有无数个

C． x<2的正整数解是1和2

D． x<2的非负整数解是0和1

[分析：]2不是不等式x<2的解，所以C错误．

解： 选C．

例3（2007年金华市中考题）不等式2x-6>0的解集在数轴上表示正确的是（ ）．

[分析：]不难看出，使不等式成立的x必须大于3．

解： 选A．

三、不等式的性质

不等式的性质不仅是不等式变形的重要依据，而且是解不等式的基础，因此，不等式的性质在不等式这部分内容中十分重要．

性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c．

性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

如果a>b，c>0，那么ac>bc，>．

性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

如果a>b，c<0，那么ac

在学习不等式的性质时，大家要注意借助类比思想，对照等式相应的性质来感受不等式的性质，比较它们的相同之处和不同之处．特别是性质3，不等式两边乘以（或除以）同一个负数时，不要忘记改变不等号的方向．

例4（1）若a>b，则-2a-3-2b-3．

（2）若a>0，b<0，c<0，则（a-b）c0．

[分析：]题（1）是在a>b的两边先同乘以-2，再同减去3；题（2）要先判断a-b是正数还是负数，再判断（a - b）c的符号．解题过程中要注意正确运用不等式的性质．

解： （1）填<． （2）填<．

例5如果关于x的不等式（a+1）x>a+1的解集是x<1，那么a的取值范围是（ ）．

A． a>0 B． a<0

C． a>-1D． a<-1

[分析：]不等式（a+1）x>a+1要变形为x<1，就需要根据不等式的性质3，在原不等式的两边同时除以负数a+1，a+1<0，故可得a<-1．

解： 选D．

[说明：]这道题实际上是逆向应用不等式的性质．解题时一定要注意不等号的方向是否改变，从而判断未知系数的正负性．

例6（2007年乌兰察布市中考题）用“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体．用天平比较它们的质量，两次测量的情况如图1，那么将“○”、“□”、“△”按质量从小到大的顺序排列应为（）．

A． ○□△ B． ○△□

C． □○△ D． △□○

[分析：]由两次测量的情况可知，“○”的质量大于“□”，而“□”的质量是“△”的2倍，所以“○”的质量最大，“△”的质量最小．

解： 选D.

四、一元一次不等式

教材中说，含有一个未知数，未知数的次数都是1的不等式，叫做一元一次不等式．例如3a-8<0， +5≥-1等都是一元一次不等式；而7x+y>8，+5≤4，2x2-4x-9<0等都不是一元一次不等式．

在学习一元一次不等式时，应注意将其与一元一次方程进行比较．其实这两者是类似的，只不过一元一次方程是用等号连接的，而一元一次不等式是用不等号连接的．

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”