“妙”题“巧”解

蒋　涛

2008高考，我最欣赏的一道数学试题是江西卷理科第10题.试题如下.

连接球面上两点的线段称为球的弦.如下图，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M，N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M②弦AB、CD可能相交于点N③MN的最大值为5④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

分析：四个命题的判断实际上是两个问题，可分开处理.①②主要针对两条动弦的位置可能作出判断，可看做问题（1）；而③④解决的关键是求出MN的取值范围，作为问题（2）.由题设易得OM=3，ON=2，可合理使用.

1. 类比法

将空间问题平面化，此题可追溯到平面中的两个结论：

（1）在圆中两动弦可能相交于短弦的中点，但不可能相交于长弦的中点.

（2）平面上两动点M、N到定点O分别为定长d1、d2，则当O、M、N三点共线时MN取得最值：M、N同侧时MN取得最小值，M、N异侧时MN取得最大值.

结论（1）利用反证法说明：假设弦AB、CD相交于点N.

∵ AB2=4（R2-OM2），CD2=4（R2-ON2），

在Rt△OMN中，OM

∴AB2>CD2，即AB>CD.

与已知AB

结论（2）则是显而易见的，不需要证明，据此很容易选对答案.

以下方法易解决问题（2）.

点评：类比是一种方法，更是一种合情推理能力，新课标要求学生掌握这种能力并体现在解题过程中，高中阶段最典型的类比类型是等差到等比，平面到空间，关键是学生在感悟中深刻体会，在实践中加强锻炼.

2. 轨迹法

将动点问题轨迹化，动点M、N的轨迹为以3、2为半径的两个同心球.M、N在运动的过程中不难发现则当M、N与球心O三点共线时MN取得最值：M、N在O同侧时MN取得最小值1，即两半径之差；M、N在O异侧时MN取得最大值5，即两半径之和.

点评：轨迹思想是解决动点问题的不二法门，把一些比较复杂的问题几何化，借助于形的直观性，很容易作出判断或者求解.

3. 向量法

由已知推导得｜｜=3，｜｜=2，｜｜=｜-｜.下面可以用两种方法推导结果.由三角不等式或者两边平方都可以推导出MN的最值.

方法一：由三角不等式知：｜｜｜-｜｜｜≤｜-｜≤｜｜+｜｜，即1≤｜-｜≤5.∴｜｜max=5，｜｜min=1.

方法二：将｜｜=｜-｜两边直接平方，得

｜｜2=-｜-｜2=(-)2=｜｜2+｜｜2-2•=13-12cos∠MON.

∵cos∠MON∈［-1，1］，∴｜｜2∈［1，25］即｜｜∈［，15］.

点评：向量单独的知识点在高考中所占的份额一般不大，但是向量往往却可以作为工具使用，具有很强的兼容性，三角、解析几何与向量的完美结合开拓了视野，丰富了解法，更体现了不同知识章节之间的联系.

4. 三角法

由余弦定理MN2=OM2+ON2-2OM×ON×cos∠MON=14-12cos∠MON=13-12cos∠MON.

根据cos∠MON∈易得MN∈［1，5］.

点评：此法与向量法中的方法二颇为类似，但出发点是不同的.脱去已知条件所穿着的“沉重的大衣”，直接瞄准目标，用O、M、N三点的关系来求解MN的最值，这种解法关键在于化归思想.

本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的“妙”题，而解法的丰富多彩给学生留下了一个自由发挥的广阔探索空间，学生在探索的过程中收获着乐趣和成功，没有比巧妙解决掉一个问题所带来的充实和自豪感更美妙的了，有幸碰到这样一道“奇妙”的问题，让学生有了用武之地，思维一旦打开，智慧的火花必将灿烂夺目.如此“妙”题，不愧是我最欣赏的一道数学试题啊！