利用图形计算器构建函数模型

　　著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。”所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具并通过数学语言表述出来的一个数学结构，数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型。举个简单的例子，二次函数就是一个数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为二次函数来解决。而通过对问题数学化、模型构建、求解检验使问题获得解决的方法称之为数学模型方法。我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思想方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。具体地讲，数学模型方法的操作程序大致如下图。
　　
　　由此我们可以看到，培养学生运用数学建模解决实际问题的能力，关键是把实际问题抽象为数学问题。因此必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，再把数学模型纳入某知识系统去处理。
　　学生借用图形计算器这一数学工具既培养了他们的数学思想，又提高了他们的信息素养。在使用图形计算器的过程中，他们能够方便、快捷地建立函数模型，从而培养他们利用数学解决生活实际问题的能力，使他们得到成功的喜悦，进一步建立学好数学的信心。
　　
　　一、培养学生科学探索精神以及初步体验函数建模的方法
　　
　　问题1：自由落体运动的函数模型
　　某次实验打出一条纸带，打点间隔为0.02s，每隔4个点取一个计数点后标上O、B、C、D、E、F、用刻度尺量得某点分别到上述个点的距离依次为0 cm，4.90cm，19.60cm，44.10cm，78.40cm，122.50cm由以上数据我们来研究物体下降的高度H与时间T之间的函数关系。
　　
　　数据分析整理：在现实生活中有许多数据需要根据自己研究问题进行整理、挖掘。在这个问题中，我们研究的是下降的高度和时间T之间的关系，数据列表如下：
　　
　　数据分析：
　　（1）输入数据：
　　
　　（2）画函数图像并确定是何种函数回归
　　
　　（3）利用函数回归功能确定相应的系数
　　
　　对实际问题进行解释并检验：得到时间和下降的高度之间的函数关系是H=490t2，换算成以米为单位H=4.9t2，即H=1/2gt2
　　小结：本例主要从学生熟悉的物理背景，从实验数据得到时间和下降的高度的函数关系，让他们熟知建立函数模型的一般步骤。本例从一个很小的生活事例中，提炼出了一个具有丰富内涵的数学问题，生活中处处有数学，要引导学生从中体会数学的应用价值和数学魅力，培养数学的应用意识和探索数学问题的兴趣。我们的数学教学不仅要使学生获得新的知识，而且要提高学生的思维能力，要培养学生自觉地运用数学知识去思考和处理日常生活、生产中所遇到的问题的习惯，从而形成良好的思维品质，造就一代具有探索精神的新人。
　　反思：学生的抽象、观察、分析、综合、类比能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模意识贯穿在教学的始终，也就是要不断地引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。
　　
　　二、让学生心系国情，培养学生的数学应用意识
　　
　　问题2：我国人口增长的函数模型
　　
　　数据分析：
　　（1）输入数据
　　
　　（2）画函数图像并确定是何种函数回归
　　
　　（3）利用函数回归功能确定相应的系数
　　
　　小结：这部分内容更关注学生对生活中数学的体验，让学生去感知客观世界的数量关系和空间形式，去体验数学知识中饱含的知、情、意、行，借助感情的滋润和催化，把学生领进数学知识的大门，让他们切身体验数学的美妙与丰富。
　　反思：探索新编高中数学教材中“阅读材料”的教学的思路和方法，重点是如何利用信息技术更好地开发这些材料的教学价值，开阔学生的视野，培养学生对数学材料的阅读能力，激发学生的创新思维，提高学生的数学学习兴趣。
　　现代信息技术的发展为数学教育的普及与传播提供了得天独厚的土壤，也对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。信息技术环境下所发生的最显著的变化之一是学生的角色、教师的作用与学习环境的变化。
　　对学生而言，相关材料的查阅、搜集、整理与讨论等环节可以自主完成，他们是知识的主动探索者、问题讨论的启动者和调整者、问题解决的参与者和经历者。
　　对教师而言，原先的教学载体和手段现在被以计算机为主要载体所营造的教学环境所代替。这样，教师不仅有灵活选择一些素材的余地，而且可以大胆地创设教学环境，设计更加开放互动的学习活动，参与式、活动式、主体性教学能得以实现。
　　信息技术使数学教学手段丰富起来。计算机的计算与绘图功能，为抽象思维提供直观模型，使数学关系的静态结构表现为动态结构，提高了观察、对比、研究的效果。例如研究一个数列，在很短的时间内可以计算出它的更多的项；研究函数的性质可以在同一坐标系内迅速准确地画出几个函数图像进行比较，得出性质；研究圆锥曲线的统一方程，可以根据任意给出的离心率的值快速画出圆锥曲线等等。
　　（作者单位：北京第十八中学）
　　（注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文）