趣谈回文数

欧阳维诚

北京有一家酒店，店名叫做“天然居”．店里有一副对联：

客上天然居，居然天上客．

顾客走进这家酒店，看了这副对联，感到自己居然是天上的来客，在没有得到物质享受之前，就得到充分的精神享受了．

无独有偶，文学中有回文联回文诗，数学中也有一种回文数．

什么叫回文数？随便看一自然数，例如２ ００１，将它各位数字的次序倒过来，就得到一个新自然数１ ００２，称为原数的反序数．例如２ ００１与１ ００２互为反序数，１ ９９９与９ ９９１、３１８与８１３、１７与７１等等，都互为反序数．

一般地说，一个数与它的反序数并不相等．例如２ ００１就不等于１ ００２，１ ９９９也不等于９ ９９１．有的数与它的反序数是相等的．例如２ ００２的反序数仍为２ ００２，３４３的反序数仍为３４３，像这种与它的反序数相等的数就称为回文数．２ ００２、３４３都是回文数．除此之外，还有其他的回文数，如５５、１ ００１．

回文数有许多有趣的性质．数学家对它进行了深入的研究，但还有许多问题没有解决，留下了不少关于回文数的猜想．

我们看一个有趣的操作：

随便一个数，例如９７，它不是回文数，把它与它的反序数相加，９７的反序数是７９，将两数相加９７＋７９＝１７６．

１７６仍然不是回文数，再将上述运算过程继续下去，将１７６与其反序数６７１相加１７６＋６７１＝８４７，如此继续下去，便逐步得到８４７＋７４８＝１ ５９５，１ ５９５＋５ ９５１＝７ ５４６，７ ５４６＋６ ４５７＝１４ ００３，１４ ００３＋３０ ０４１＝４４ ０４４．

终于得到了一个回文数．事实上可以证明：任何一个两位数，若不是回文数，则加上它的反序数．如果其和仍不是回文数，那么再重复上述步骤，经过有限次这样的加法运算之后，一定能得到一个回文数．

对于大多数不是两位数的自然数，也有类似的性质．例如对三位数１９７来说，我们有：

１９７＋７９１＝９８８，

９８８＋８８９＝１ ８７７，

１ ８７７＋７ ７８１＝９ ６５８，

９ ６５８＋８ ５６９＝１８ ２２７，

１８ ２２７＋７２ ２８１＝９０ ５０８，

９０ ５０８＋８０ ５０９＝１７１ ０１７，

１７１ ０１７＋７１０ １７１＝８８１ １８８．

最后也得到了一个回文数．能不能将这些结果推广，得到下面的猜想呢？

任何一个不是回文数的正整数，加上它的反序数，若其和仍不是回文数，则再加上其和的反序数．如此不断地重复上述步骤，经过有限次这样的运算之后，一定能得到一个回文数．

这个猜想是否成立？目前尚未证明也未否定．虽然电子计算机对很多数的检验都支持这一结论，但有些数并不“驯服”．１９７这个数，我们只做了七次加法运算就得到了回文数，但对１９６来说，情况就完全不是那么一回事了．据说有人用计算机作过几十万次运算，尚未得到回文数，也未能证明它不能产生回文数．

这个猜想与著名的哥德巴赫猜想一样，猜想的内容小学生都能听懂，但要解决它，大学者也无能为力．也许和哥德巴赫猜想一样，它也是一个世界级的难题．