探索数学的灵魂

王　前

如果人们真正了解数学，就会知道它决非一堆晦涩枯燥的符号的集合，而是一个有血有肉且有灵魂的机体。数学的血肉即数学蕴含的概念、原理、推论及其他关系，它们是数学工作者所熟悉的。数学的灵魂则是指存在于数学的血肉之中的思想方法，特别是其中的哲学思想观点。它们看不见也摸不着，人们往往不够熟悉，但它们却深刻地影响着数学发展进程。研究数学中的哲学是探索数学的灵魂中的较艰难的工作。夏基松和郑毓信通力合作写出的《西方数学哲学》，是这一探索过程中值得重视的一本专著。

《西方数学哲学》讨论了西方数学哲学研究中各主要理论问题，包括西方数学哲学的早期研究，数学基础问题，悖论及其分析，数学的本体论问题，数学的真理性问题等。在概括数学哲学各主要流派观点方面，这本书是很成功的。书中引用了大量取自原文的第一手资料，特别是各主要流派代表人物的一些代表作介绍了各主要流派的思想渊源和演变过程，以及各流派之间在评述对方观点时出现的某些误解。这样，就勾划出西方数学哲学各派别相互联系和发展的一幅整体图景，为今后从事数学哲学研究的人们提供了十分有益的理论线索。

这本书在分析的环节上着眼于揭示各主要数学哲学派别的本质特征，评价的环节着眼于揭示各派别对于数学发展的意义和作用，以及哲学上的是非问题。比如对于现代数学哲学中的直觉主义，以往学术界褒贬不一，过去有些学者曾把它单纯看作“唯心主义”派别而完全否定，也有些人对其深刻性和彻底性推崇备至。而这本书则认为，数学哲学中的直觉主义以“直觉上的可构造性”作为“可信性”的唯一标准，而直觉主义者所说的“直觉”是一种“纯主观”的思维活动，直觉主义者的努力是把非构造性的数学(至少其中一个部分)化归为构造性数学。书中指出，直觉主义在完全否定数学的客观性，把“可构造性”作为“可信性”的唯一标准，把数学思想同语言形式绝对对立起来，力图在构造性基础上重建全部数学等方面，其基本立场都是错误的。但是，直觉主义的数学哲学蕴含一定合理成分，如强调数学思想与语言形式的区别，肯定数学的可变性和发展性，注意研究数学的可构造性，对传统逻辑普遍有效性提出怀疑和否定，发展直觉主义逻辑，等等。这些合理成分对数学研究工作是有一定意义的。

西方数学哲学研究中至今还有许多尚未彻底解决的理论问题，有待人们进一步深入研究。在这些问题上取得进展，决非轻易之举。以数学悖论为例，从一九○二年罗素提出集合论悖论以后，历时八十多年，人们在这个问题上一直争论不休。《西方数学哲学》分析了悖论的本质特征。书中指出，悖论的实质是“客观实在的辩证性与主观思维的形而上学性及形式逻辑化的方法的矛盾的集中表现。”(第174页)具体地说，认识或理论的研究对象在本质上往往是辩证的，即是诸对立环节的统一体；然而，由于主观思维方法上的形而上学性或形式逻辑化方法的限制，对立统一的环节被绝对地割裂开来。如果再把它们机械地重新联结起来，对立环节的直接冲突就是不可避免的了，而这就是悖论。书中进一步分析了芒诺悖论、贝克莱悖论、逻辑——数学悖论、语义学悖论的具体特点，从不同方面论证了它们的共同性质。并且指出，由于悖论是客观实际与主观认识矛盾的集中反映，因此，从认识论的角度看，悖论的出现就不可能完全予以避免。悖论的解决是相对的，而这种解决对数学发展是有意义的，它表明对认识局限性的超越。上述观点虽然不能说是对数学悖论问题的完全解决。但仅从哲学角度看，上述观点还是把问题分析得相当透彻深入的，对人们进一步研究悖论问题是有启发意义的。

此书也还有若干不够完美之处，比如在评价现代西方数学哲学流派时，对逻辑主义、直觉主义、形式主义这几个出现较早、影响较大的派别谈得较多，而对近几十年来出现的数学哲学新派别新观点谈得较少。象哥德尔、普特南、拉卡托斯等人的观点，还是可以多花些笔墨的。另外，对于某些数学哲学观点的分析评价，似乎比较注意运用辩证唯物主义哲学去研究其性质，而对西方数学哲学中合理成分给予哲学研究本身的借鉴和启示谈论不多。

(《西方数学哲学》，夏基松、郑毓信著，人民出版社一九八六年一月第一版，2.10元)