第三届五四青年智力竞赛部分试题解答

歆　康

第27题

题目:在《失乐园》第一卷中，描写天神岳夫把伏尔坎从天堂中扔出来，米尔顿用诗描述伏尔坎跌到地球上来的过程:

他从早晨掉到中午，

又从中午落到带露水的晚上，

整整一个夏日；

同落日一起，

象陨星一样从天顶跌落下来，……

自然天堂是没有的，不过我们可以根据米尔顿给的数据，计算出“天神”所在的“天堂”的高度为——千米；伏尔坎跌入大气层顶部时的速率为——千米/秒。(设米尔顿写书的地方白昼为17.5小时)若考虑到加速度与到地球中心的距离的平方成反比，计算出“天堂”高度的修正值为——；伏尔坎跌入大气层的速率的修正值为——。

题意:本题主要有两个目的，其一是本题引用了圣经中有关天堂的一首诗，借米尔顿从天堂掉到凡间，让读者亲自计算一下天堂的高度。计算的结果为1.9×107千米，修正值为9×104千米。根据有关天文数据，我们知道，1.9×107千米，只是地球到金星的距离(约4.2×107千米)一半不到。所谓天堂，连金星都到不了。事实上，在金星与地球的中间，则是空空荡荡的，根本没有什么天堂。今天，我们人类已经能观察到的最远的星体，距我们地球达150亿光年以上。可见，神秘莫测的天堂是经不起最起码的科学推敲的，通过我们自己的计算，可以毫不犹豫地得出结论，天堂是根本不存在的。

其二，本题前后有两个部分，前一部分比较容易，要求读者将从天堂掉下来的米尔顿看作自由落体，天堂高度和进入大气层的速度均可以用自由落体的公式来计算。后一部分难度较大，按正规解法，势必要运用积分，最后求解的方程也比较复杂，但是对于会运用微机作科学计算的读者来说，方程的数值解并不困难。不过，我们的目的是要求读者会巧妙地利用开普勒第三定律，作修正值的估算，这便是一种能力，即要求读者有类比推理和估算的能力。

运用自由落体公式求解:米尔顿从天上掉下来的问题可以看作一个质点的自由落体，因此根据米尔顿下掉的时间，可以算出天堂的高度。我们设天堂高度为y天堂，米尔顿下落时间为t，则有

米尔顿进入大气层时的速度，也就是米尔顿掉了y天堂高度之后的末速度，我们设这速度为v，因此有

=(2×9.8米/秒2×1.94×1010米1/2=(2×9.8×1.94×1010)1/2米/秒≈620千米/秒。

修正值的估算:

1.用开普勒第三定律估算y天堂的修正值本题的第2问的难度较大，因此我们先利用开普勒定律来作估算。开普勒第三定律表明行星周期的平方与轨道半径(或椭圆轨道的半长轴)的立方成正比，设周期为T，半径的长度为r，则有

其中G为万有引力常数，G=6.67×10-11牛顿·米2/千克2，M为太阳的质量。由上式有，

显然，此式也应同样适用于地球的卫星，因此可以改为:

再根据地球表面自由落体加速度g，算出GM地。设R为地球的半径，即有

虽然此式由卫星轨道推出来的，但我们如果设想有一质点没有垂直于半径的速度分量，沿半径的速度分量在开始时也为零。这个质点由于地球的吸引，向地球掉下来，若地球中间有一个洞，该质点便穿过地心而去，到了另一端，质点的速度最终为零，又往回掉向地球，形成往复运动。这一往复运动的周期，可由(3)式来估算。我们假定米尔顿就是这样一个质点，他从天堂掉到大气层的时间，近似地为周期的1/4，设△t为米尔顿下落时间，故由(3)式有:

将各种数据代入(4)式，可得:

≈9×107米。

2.进入大气层时的速度修正值

根据能量守恒定律，可得:

所以

代入各项数据，得:

∴v≈10千米/秒。

天堂高度的近似计算:

前面我们采用开普勒第三定律对天堂高度的修正值作了估算，那样作，可以获得数量级的估计。现在我们给出严格的解法，然后在近似条件下，计算y天堂。

为此，我们设一坐标，其原点设在地球的球心，y天堂为r0，任何时刻米尔顿的位置为r0于是我们有

通过运算并整理后，再作分离变量得:

再利用三角公式

可得:

整理后积分得:

将各种数据代入，可算出r0=y天堂≈11×107米。这个近似值与估算值极为接近，这是由于(15)式与用开普勒第三定律估算的(4)式仅差的因子。

上述计算是一个比较好的近似，如要严格计算，则应使(11)式积分上限为sin=，这样，所得的方程比较难解。若用微型电子计算机，采用迭代法，也是不难求出数值解的，我们不在此详述了。